113學年鷺江國中第1次段考數學 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   等差的意思是差固定

   三項 $a$、$b$、$c$ 成等差，代表 $b-a=c-b$，把這個固定的差記成公差 $d$；題目又說 $a\ne b\ne c$，所以 $d\ne 0$。要判斷一個新數列是不是等差，只要算「後項減前項」有沒有固定就好。
2. 2

   整組同減一個數

   (B) 是每一項都減 $5$：$(b-5)-(a-5)=b-a=d$，$(c-5)-(b-5)=c-b=d$。兩個 $-5$ 在相減時互相抵消，差完全沒變，仍然是公差 $d$ 的等差數列。
3. 3

   整組同乘一個數

   (C) 每項乘 $2$：$2b-2a=2(b-a)=2d$，$2c-2b=2(c-b)=2d$，公差變成 $2d$，雖然變大了但仍然固定，是等差。(D) 是先乘 $2$ 再減 $5$：$(2b-5)-(2a-5)=2d$、$(2c-5)-(2b-5)=2d$，公差同樣是 $2d$，也是等差。
4. 4

   取倒數會破壞結構

   (A) 取倒數後，$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab}=\frac{-d}{ab}$，而 $\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=\frac{b-c}{bc}=\frac{-d}{bc}$。兩個差的分子都是 $-d$，但分母一個是 $ab$、一個是 $bc$，一般不會相等，所以兩個差不一樣。
5. 5

   代數字驗證

   取 $a=1$、$b=2$、$c=3$（公差 $1$）。(A) 變成 $1$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$，兩個差是 $-\frac{1}{2}$ 與 $-\frac{1}{6}$，並不相等；同一組數字下 (B) 是 $-4$、$-3$、$-2$，(C) 是 $2$、$4$、$6$，(D) 是 $-3$、$-1$、$1$，這三組都還是等差。故選 (A)。

關鍵觀念：#等差數列

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