114學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   整理成等差數列

   每一週比前一週多背 $9$ 個，所以每週背的單字數成等差數列，公差是 $9$。設第一週背 $a$ 個，九週依序是 $a,\ a+9,\ a+18,\ \ldots$；第 $9$ 週比第 $1$ 週多加了 $9-1=8$ 次公差，所以第 $9$ 週是 $a+8\times9=a+72$。
2. 2

   用頭尾相加列出總和

   九週總共背了 $450$ 個，用「首項加末項，乘項數，再除以 $2$」：$\dfrac{9\times\left[a+(a+72)\right]}{2}=450$。
3. 3

   解出第一週的個數

   兩邊先乘 $2$ 再除以 $9$：$a+(a+72)=\dfrac{450\times2}{9}=100$，即 $2a+72=100$，$2a=28$，所以 $a=14$。
4. 4

   用中間項驗算

   項數是奇數時，總和除以項數就是正中間那一項：$450\div9=50$，那是第 $5$ 週。第 $5$ 週比第 $1$ 週多加了 $4$ 次公差，所以第 $1$ 週是 $50-4\times9=50-36=14$，答案一致。實際列出來：$14,23,32,41,50,59,68,77,86$，頭尾配對 $14+86=100$、$23+77=100$、$32+68=100$、$41+59=100$，四組加上中間的 $50$ 正好是 $450$。所以他第一週背了 $14$ 個單字。

關鍵觀念：#等差級數 #應用問題

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