113學年鷺江國中第1次段考數學 第12題 詳解

逐步解析

1. 1

   先數清楚共有幾項

   在 $9$ 與 $729$ 之間插入 $3$ 個數，整個數列會變成 $9$、第 $2$ 項、第 $3$ 項、第 $4$ 項、$729$，一共 $5$ 項。$9$ 是第 $1$ 項，$729$ 是第 $5$ 項。
2. 2

   用一般項列式

   等比數列的第 $5$ 項等於第 $1$ 項乘 $4$ 次公比（從第 $1$ 項跨到第 $5$ 項要跨 $4$ 次）：$9\times r^4=729$，所以 $r^4=729\div 9=81$。
3. 3

   解出公比

   $81=3^4$，而偶次方的結果是正數時，底數正負都可能：$3^4=81$、$(-3)^4=81$。所以 $r=3$ 或 $r=-3$，寫成 $r=\pm 3$。
4. 4

   兩個都代回檢查

   $r=3$ 時數列是 $9$、$27$、$81$、$243$、$729$；$r=-3$ 時數列是 $9$、$-27$、$81$、$-243$、$729$，末項同樣是 $729$（負號在偶數次方時抵消掉）。兩組都成立，所以此數列的公比為 $\pm 3$。

關鍵觀念：#等比數列 #等比中項

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