114學測數學A 第16題 詳解

圓弦長・距離 · 選填 · 題目出處：114 學年度學科能力測驗 數學A 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   看清題型

   這題在考「圓心到直線的距離」和「圓被直線截出的弦長」。已知圓心在原點，直線 $L_1$ 通過 $(3,1)$，斜率是 $m$；$L_2$ 也是通過 $(3,1)$，斜率是 $-m$。再利用 $L_2$ 與圓相切，先求出圓半徑與 $m$ 的關係，最後回到 $L_1$ 求弦長。
2. 2

   寫出兩條直線

   由題意，$L_1$ 經過 $(3,1)$、斜率為 $m$，所以方程式可寫成
   $$y-1=m(x-3).$$
   整理成一般式：
   $$mx-y+(1-3m)=0.$$
   同理，$L_2$ 經過 $(3,1)$、斜率為 $-m$，所以
   $$y-1=-m(x-3),$$
   整理成
   $$mx+y-(1+3m)=0.$$
3. 3

   用相切條件求半徑

   因為圓心在原點，所以原點到 $L_2$ 的距離就是圓半徑 $r$。由點到直線距離公式，
   $$r=\frac{|-(1+3m)|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|1+3m|}{\sqrt{m^2+1}}.$$
   題目又給圓心到 $L_1$ 的距離為 $1$，因此
   $$\frac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1.$$
   平方後得
   $$\frac{(1-3m)^2}{m^2+1}=1,$$
   也就是
   $$1-6m+9m^2=m^2+1,$$
   整理為
   $$8m^2-6m=0,$$
   所以
   $$2m(4m-3)=0.$$
   由於 $L_1$ 與圓交於相異兩點，直線不能與圓相切，因此 $m
   eq 0$，故
   $$m=\frac{3}{4}.$$
4. 4

   求圓半徑

   將 $m=\frac{3}{4}$ 代回 $L_2$ 的距離公式，得
   $$r=\frac{|1+3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\left|1+3\cdot\frac34\right|}{\sqrt{\left(\frac34\right)^2+1}}.$$
   先算分子：
   $$1+\frac94=\frac{13}{4}.$$
   再算分母：
   $$\sqrt{\frac{9}{16}+1}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac54.$$
   所以
   $$r=\frac{\frac{13}{4}}{\frac54}=\frac{13}{5}.$$
5. 5

   求弦長

   對直線 $L_1$ 而言，圓心到弦所在直線的距離為 $d=1$，圓半徑為 $r=\frac{13}{5}$。弦長公式為
   $$AB=2\sqrt{r^2-d^2}.$$
   代入得
   $$AB=2\sqrt{\left(\frac{13}{5}\right)^2-1^2}=2\sqrt{\frac{169}{25}-\frac{25}{25}}=2\sqrt{\frac{144}{25}}=2\cdot\frac{12}{5}=\frac{24}{5}.$$
6. 6

   結論

   因此，弦 $\overline{AB}$ 的長度為
   $$\boxed{\frac{24}{5}}.$$

關鍵觀念：#直線方程 #圓與直線位置關係 #弦長公式