114學測數學A 第16題 詳解

答案$\overline{AB}=\dfrac{24}{5}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   距離列式

   本題考圓與直線的位置關係。$L_1$：$y-1=m(x-3)$，化為一般式 $mx-y+1-3m=0$。圓心 $O(0,0)$ 到 $L_1$ 的距離為 $1$：$\dfrac{|1-3m|}{\sqrt{m^2+1}}=1$。
2. 2

   解出斜率

   兩邊平方：$(1-3m)^2=m^2+1$，即 $9m^2-6m+1=m^2+1$，整理得 $8m^2-6m=0$，故 $m=0$ 或 $m=\dfrac34$。若 $m=0$，$L_1$、$L_2$ 都是水平線 $y=1$，此時圓心到 $L_2$ 的距離（即半徑）也是 $1$，$L_1$ 便與 $\Gamma$ 相切，無法交於相異兩點 $A$、$B$，不合；故 $m=\dfrac34$。
3. 3

   求半徑

   $L_2$：$y-1=-m(x-3)$，即 $mx+y-1-3m=0$。$\Gamma$ 與 $L_2$ 相切，半徑等於圓心到 $L_2$ 的距離：$r=\dfrac{|1+3m|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{1+\frac94}{\sqrt{\frac9{16}+1}}=\dfrac{\frac{13}4}{\frac54}=\dfrac{13}5$。
4. 4

   弦長公式

   弦心距 $d=1$，由畢氏定理，半弦長 $=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{\dfrac{169}{25}-1}=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}5$，故 $\overline{AB}=2\times\dfrac{12}5=\dfrac{24}5$。答案為 $\dfrac{24}{5}$（最簡分數）。

關鍵觀念：#直線方程 #圓與直線位置關係 #弦長公式

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