112分科測驗數學甲 第7題 詳解

有一個依順時針方向依序標示 $1,2,\ldots,12$ 數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動 5 個鐘點。
若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動 5 個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數 $n$，令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置，$P(X_n=k)$ 代表 $X_n=k$ 的機率（其中 $k=1,2,\ldots,12$），且令 $E(X_n)$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。
(1) $E(X_1)=6$
(2) $P(X_2=12)=\dfrac14$
(3) $P(X_8=5)\ge\dfrac{1}{2^8}$
(4) $P(X_8=4)=P(X_8=8)$
(5) $E(X_8)\le7$