112分科測驗數學甲 第6題 詳解

設 $a,b,c,d,r,s,t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\vec u=(a,b,0)$、$\vec v=(c,d,0)$ 及 $\vec w=(r,s,t)$ 滿足內積 $\vec w\cdot\vec u=\vec w\cdot\vec v=0$。考慮三階方陣 $A=\begin{bmatrix}a&b&0\\c&d&0\\r&s&t\end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
(1) 若 $\vec u\cdot\vec v=0$，則行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ne0$
(2) 若 $t\ne0$，則行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ne0$
(3) 若存在一個向量 $\vec{w'}$ 滿足 $\vec{w'}\cdot\vec u=\vec{w'}\cdot\vec v=0$ 且外積 $\vec{w'}\times\vec w\ne\vec0$，則行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ne0$
(4) 若對任意三個實數 $e,f,g$，向量 $(e,f,g)$ 都可以表示成 $\vec u,\vec v,\vec w$ 的線性組合，則行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ne0$
(5) 若行列式 $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\ne0$，則 $A$ 的行列式不等於 $0$