112學測數學B 第18題 詳解

空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿，其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系，使得電線桿皆與 $y$ 軸平行，三根底座的點分別為 $A_1(0,0)$、$A_2$、$A_3$，都在直線 $L:x+3y=0$ 上；三根頂端的點分別為 $B_1(0,3)$、$B_2$、$B_3$，都在直線 $M:2x-3y+9=0$ 上，如圖所示。已知 $\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}$，且由單點透視法可知直線 $A_1B_3$ 與直線 $A_3B_1$ 的交點在直線 $A_2B_2$ 上。設 $L$ 和 $M$ 相交於 $P$ 點（此點又稱為「消失點」）。根據上述，若向量 $\overrightarrow{PA_1}=k\overrightarrow{PA_3}$，則 $k$ 的值為何？（化為最簡分數）