114分科測驗數學甲 第2題 詳解

立方體・垂直面 · 單選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   先抓題目在考什麼

   這題不是在比面積，也不是在看邊長，而是在考「一個平面同時垂直另外兩個平面」。在立方體裡，判斷平面垂直，最穩的方法是看兩個平面的法向量是否互相垂直；若能先找出題目給的兩個平面的法向量，再去比選項平面的法向量，就能直接決定答案。
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   設座標，先把立方體固定下來

   令立方體邊長為 $1$，取
   $A(0,0,0),\;B(1,0,0),\;C(1,1,0),\;D(0,1,0),\;E(0,0,1),\;F(1,0,1),\;G(1,1,1),\;H(0,1,1)$。
   接著分別求平面 $BGH$ 與平面 $CFE$ 的法向量。
3. 3

   求兩個已知平面的法向量

   平面 $BGH$ 中，
   $\overrightarrow{BG}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{BH}=(-1,1,1)$。
   所以法向量可取
   $$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{BH}=(0,1,-1).$$
   平面 $CFE$ 中，
   $\overrightarrow{CF}=(0,-1,1)$，$\overrightarrow{CE}=(-1,-1,1)$。
   所以法向量可取
   $$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{CF}\times\overrightarrow{CE}=(0,1,1).$$
   若某平面同時垂直這兩平面，則它的法向量要同時與 $\overrightarrow{n_1}$、$\overrightarrow{n_2}$ 垂直，也就是要平行於
   $$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}.$$
   計算得
   $$(0,1,-1)\times(0,1,1)=(2,0,0),$$
   所以所求平面的法向量方向是 $x$ 軸方向。
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   逐一檢查選項，找到正解

   現在看各選項平面是否有法向量平行於 $x$ 軸。
   
   (1) 平面 $ADH$：
   $\overrightarrow{AD}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{AH}=(0,1,1)$，
   其法向量
   $$\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AH}=(1,0,0),$$
   和 $x$ 軸平行，因此平面 $ADH$ 同時垂直於平面 $BGH$ 與平面 $CFE$。
   
   (2) 平面 $BCD$：這是底面，法向量是 $(0,0,1)$，不對。
   
   (3) 平面 $CDG$：
   $\overrightarrow{CD}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{CG}=(0,0,1)$，法向量為 $(0,1,0)$，不對。
   
   (4) 平面 $DFG$：
   $\overrightarrow{DF}=(1,-1,1)$，$\overrightarrow{DG}=(1,0,1)$，法向量不會平行於 $x$ 軸，不對。
   
   (5) 平面 $DFH$：
   $\overrightarrow{DF}=(1,-1,1)$，$\overrightarrow{DH}=(0,0,1)$，法向量也不平行於 $x$ 軸，不對。
5. 5

   收斂到官方答案

   因此，同時與平面 $BGH$ 及平面 $CFE$ 皆垂直的平面是
   $$\boxed{(1)\ \text{平面 }ADH}$$
   這就是官方答案。

關鍵觀念：#空間中的平面垂直 #向量法 #立方體座標