114分科測驗數學甲 第2題 詳解

答案(1) 平面ADH看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   設定坐標

   本題考空間中兩平面垂直的判定，最有效率的工具是坐標化＋法向量：兩平面垂直 $\Leftrightarrow$ 兩法向量內積為 $0$。設正立方體邊長為 $1$，底面 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$，頂面依對應 $E(0,0,1)$、$F(1,0,1)$、$G(1,1,1)$、$H(0,1,1)$（$A$ 正上方是 $E$、$B$ 上方是 $F$、$C$ 上方是 $G$、$D$ 上方是 $H$）。
2. 2

   求兩法向量

   平面 $BGH$：取 $\overrightarrow{BG}=(0,1,1)$、$\overrightarrow{BH}=(-1,1,1)$，外積得法向量 $\vec{n}_1=\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{BH}=(1\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot(-1)-0\cdot1,\;0\cdot1-1\cdot(-1))=(0,-1,1)$。平面 $CFE$：取 $\overrightarrow{CF}=(0,-1,1)$、$\overrightarrow{CE}=(-1,-1,1)$，外積得 $\vec{n}_2=(-1+1,\;-1-0,\;0-1)=(0,-1,-1)$。驗算：$\vec{n}_1\cdot\overrightarrow{BG}=0-1+1=0$、$\vec{n}_2\cdot\overrightarrow{CF}=0+1-1=0$，法向量無誤。
3. 3

   解共同垂直

   所求平面的法向量 $\vec{m}$ 必須同時與 $\vec{n}_1$、$\vec{n}_2$ 垂直，故 $\vec{m}$ 平行於 $\vec{n}_1\times\vec{n}_2=((-1)(-1)-1\cdot(-1),\;1\cdot0-0\cdot(-1),\;0\cdot(-1)-(-1)\cdot0)=(2,0,0)$。也就是說：所求平面的法向量必須沿 $x$ 軸方向，即與稜 $AB$ 平行。
4. 4

   逐一比對

   平面 $ADH$ 上三點 $A(0,0,0)$、$D(0,1,0)$、$H(0,1,1)$ 的 $x$ 坐標全為 $0$，它就是平面 $x=0$，法向量 $(1,0,0)$ 恰沿 $x$ 軸，符合。其餘排除：平面 $BCD$ 是 $z=0$，法向量 $(0,0,1)$，與 $\vec{n}_1$ 內積 $=1\ne0$；平面 $CDG$ 是 $y=1$，法向量 $(0,1,0)$，與 $\vec{n}_1$ 內積 $=-1\ne0$；平面 $DFG$ 法向量為 $\overrightarrow{DF}\times\overrightarrow{DG}=(-1,0,1)$，與 $\vec{n}_1$ 內積 $=1\ne0$；平面 $DFH$ 法向量為 $(1,1,0)$，與 $\vec{n}_1$ 內積 $=-1\ne0$。最誘答的是 (2) 平面 $BCD$：憑「底面看起來和斜切面垂直」的直覺就會選它，但它的法向量 $(0,0,1)$ 與 $\vec{n}_1$ 內積不為零，其實只斜交不垂直。
5. 5

   巧解與答案

   幾何觀點一句話收尾：平面 $BGH$ 含稜 $GH$、平面 $CFE$ 含稜 $EF$，而 $GH\parallel EF\parallel AB$。凡是與 $AB$ 垂直的平面，必垂直於任何「包含與 $AB$ 平行直線」的平面——平面 $ADH$ 正是過 $A$ 且與稜 $AB$ 垂直的面，一次同時搞定兩個條件。答案選 (1)。

關鍵觀念：#空間中的平面垂直 #向量法 #立方體座標

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