114分科測驗數學甲 第1題 詳解

三角方程・對稱解 · 單選 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

1. 1

   先看這題在考什麼

   題目給了 $y=\sin x$ 對稱於 $x=\frac{\pi}{2}$，就是要用正弦函數的對稱性來解方程。要找的是在 $0<\theta\le \pi$ 中，滿足 $\sin\theta=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{5}\right)$ 的角。
2. 2

   套用正弦同值條件

   由 $\sin A=\sin B$，可得兩種情況：
   $$A=B+2k\pi\quad \text{或}\quad A=\pi-B+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.$$
   令 $A=\theta$，$B=\theta+\frac{\pi}{5}$。第一種情況會變成
   $$\theta=\theta+\frac{\pi}{5}+2k\pi,$$
   即 $\frac{\pi}{5}=-2k\pi$，不可能成立，所以要看第二種情況。
3. 3

   把對稱關係寫成方程

   由第二種情況，
   $$\theta=\pi-\left(\theta+\frac{\pi}{5}\right)+2k\pi.$$
   整理得
   $$2\theta=\pi-\frac{\pi}{5}+2k\pi=\frac{4\pi}{5}+2k\pi,$$
   所以
   $$\theta=\frac{2\pi}{5}+k\pi.$$
4. 4

   代入範圍篩選答案

   因為 $0<\theta\le \pi$，檢查 $\theta=\frac{2\pi}{5}+k\pi$：
   - $k=0$ 時，$\theta=\frac{2\pi}{5}$，符合範圍；
   - $k=1$ 時，$\theta=\frac{7\pi}{5}>\pi$，不合；
   - $k=-1$ 時，$\theta<0$，不合。
   因此唯一解是
   $$\theta=\frac{2\pi}{5}.$$
5. 5

   對照選項收尾

   所以正確選項是
   $$\boxed{(2)\ \frac{2\pi}{5}}.$$

關鍵觀念：#正弦函數 #圖形對稱 #三角方程