114分科測驗數學甲 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   抓對稱軸

   本題考正弦函數圖形的對稱性。題幹已經把鑰匙遞給你：$y=\sin x$ 的圖形對稱於直線 $x=\dfrac{\pi}{2}$。兩個不同的角 $\theta$ 與 $\theta+\dfrac{\pi}{5}$ 的正弦值相等，而它們相差 $\dfrac{\pi}{5}$（不是 $2\pi$ 的整數倍），所以最有效率的切入是：這兩個角必須落在對稱軸 $x=\dfrac{\pi}{2}$（或其平移 $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$）的兩側對稱位置。
2. 2

   列方程求解

   嚴謹寫法：$\sin\alpha=\sin\beta$ 若且唯若 $\alpha=\beta+2k\pi$ 或 $\alpha+\beta=\pi+2k\pi$（$k$ 為整數）。取 $\alpha=\theta$、$\beta=\theta+\dfrac{\pi}{5}$：第一型給出 $\dfrac{\pi}{5}=-2k\pi$，不可能；第二型給出 $2\theta+\dfrac{\pi}{5}=\pi+2k\pi$，即 $2\theta=\dfrac{4\pi}{5}+2k\pi$，得 $\theta=\dfrac{2\pi}{5}+k\pi$。這正是「兩角平均等於 $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$」的代數版本。
3. 3

   範圍篩選

   在 $0<\theta\le\pi$ 中篩選：$k=0$ 給 $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$，在範圍內；$k=1$ 給 $\dfrac{2\pi}{5}+\pi=\dfrac{7\pi}{5}>\pi$，出界；$k=-1$ 給 $-\dfrac{3\pi}{5}<0$，出界。所以範圍內唯一解是 $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$。
4. 4

   驗算防誘答

   代回驗算：$\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ 時 $\theta+\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{3\pi}{5}$，而 $\sin\dfrac{3\pi}{5}=\sin\left(\pi-\dfrac{3\pi}{5}\right)=\sin\dfrac{2\pi}{5}$，等式成立。注意選項 (3) 的 $\dfrac{3\pi}{5}$ 正是 $\theta+\dfrac{\pi}{5}$ 這個「鏡像夥伴」：把要求的角與它的對稱夥伴搞混就會誤選 (3)。實際檢驗 $\theta=\dfrac{3\pi}{5}$：$\sin\dfrac{3\pi}{5}=\sin\dfrac{2\pi}{5}$，但 $\sin\dfrac{4\pi}{5}=\sin\dfrac{\pi}{5}$，兩者不相等，(3) 不合。
5. 5

   確定答案

   在 $0<\theta\le\pi$ 中滿足 $\sin\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{5}\right)$ 的值為 $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$。答案選 (2)。

關鍵觀念：#正弦函數 #圖形對稱 #三角方程

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