114分科測驗數學甲 第10題 詳解

空間距離・平行線 · 選填 · 題目出處：114 學年度分科測驗 數學甲 考科（大學入學考試中心）

逐步解析

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   第一步：先看題目在問什麼

   題目說一個平面分別與 $x=0$、$z=0$ 兩平面交成直線 $L_1、L_2$，而且 $L_1\parallel L_2$。這表示 $L_1$、$L_2$ 都在同一個平面內，且方向向量相同。現在要找的是兩條平行直線的距離，也就是取兩條線上的點，投影到垂直於它們方向的方向上，量出最短距離。
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   第二步：由交平面條件找出線的方向

   設共同平面的法向量為 $\vec n=(a,b,c)$。因為 $L_1$ 是平面 $x=0$ 與該平面的交線，所以 $L_1$ 的方向向量必同時垂直於 $x=0$ 的法向量 $(1,0,0)$ 與 $\vec n$。同理，$L_2$ 的方向向量也要同時垂直於 $z=0$ 的法向量 $(0,0,1)$ 與 $\vec n$。既然 $L_1\parallel L_2$，兩條交線方向相同，代表它同時垂直於 $(1,0,0)$ 與 $(0,0,1)$ 以外，還要符合共同平面條件。
   
   由於一條線是 $x=0$ 與某平面的交線，方向向量必在 $x=0$ 平面內，所以它的 $x$ 分量為 $0$；又因為它在共同平面內，可設方向向量為 $(0,u,v)$。同理，$L_2$ 在 $z=0$ 平面內，可設方向向量為 $(u',v',0)$。兩者平行，故方向向量可取同一個方向。由於 $L_1$ 經過 $(0,2,-11)$、$L_2$ 經過 $(8,21,0)$，兩點差向量為 $(8,19,11)$，這個向量正好連結兩條平行線上的對應位置；接下來只要找出與線方向垂直的距離即可。
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   第三步：建立垂直於兩線方向的量

   因為 $L_1\parallel L_2$，設它們共同方向向量為 $\vec d=(p,q,r)$。
   
   $L_1$ 在平面 $x=0$ 上，所以 $\vec d$ 必與 $(1,0,0)$ 垂直，得 $p=0$。
   $L_2$ 在平面 $z=0$ 上，所以 $\vec d$ 必與 $(0,0,1)$ 垂直，得 $r=0$。
   
   因此共同方向向量可設為 $\vec d=(0,1,0)$，也就是兩條直線都平行 $y$ 軸。
   
   既然兩線平行 $y$ 軸，那它們的距離就等於在 $xz$ 平面上的水平距離。也就是看兩點 $(0,2,-11)$ 與 $(8,21,0)$ 在 $xz$ 平面的座標差：$\Delta x=8$，$\Delta z=11$。
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   第四步：直接算最短距離

   因為兩線皆平行 $y$ 軸，所以最短距離等於兩點在垂直於 $y$ 軸的平面上的距離：
   $$\sqrt{(8-0)^2+(0-(-11))^2} =\sqrt{8^2+11^2} =\sqrt{64+121} =\sqrt{185}.$$
   故 $L_1、L_2$ 的距離為 $\sqrt{185}$。
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   第五步：對照官方答案

   因此這題的最簡根式答案為
   $$\boxed{\sqrt{185}}.$$
   與大考中心官方答案一致。

關鍵觀念：#空間座標 #平面與直線 #兩歪斜平行線距離