114分科測驗數學甲 第10題 詳解

答案√185看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   看穿方向

   本題考空間中的直線與平行線距離（選修數甲：空間向量）。關鍵不在把整個平面求出來，而在方向向量：$L_1$ 落在平面 $x=0$ 上，其方向向量的 $x$ 分量必為 $0$；$L_2$ 落在平面 $z=0$ 上，其方向向量的 $z$ 分量必為 $0$。兩線互相平行、共用同一個方向，這個方向的 $x$、$z$ 分量便同時為 $0$，只能取 $v=(0,1,0)$——兩條線都平行於 $y$ 軸。
2. 2

   寫參數式

   $L_1$ 過 $(0,2,-11)$、方向 $(0,1,0)$，故 $L_1$ 上的點為 $(0,\,2+t,\,-11)$；$L_2$ 過 $(8,21,0)$，故 $L_2$ 上的點為 $(8,\,21+s,\,0)$。兩條線上點的 $x$、$z$ 坐標各自固定不動，只沿 $y$ 方向滑動。
3. 3

   算距離

   取 $P_1=(0,2,-11)$ 在 $L_1$ 上、$P_2=(8,21,0)$ 在 $L_2$ 上，連接向量 $\vec{w}=(8,19,11)$。平行線的距離是 $\vec{w}$ 扣掉沿方向 $v=(0,1,0)$ 的分量後剩下的長度：垂直分量為 $(8,0,11)$，故距離 $=\sqrt{8^2+11^2}=\sqrt{64+121}=\sqrt{185}$。
4. 4

   驗算與答案

   用勾股關係驗算：$|\vec{w}|^2=8^2+19^2+11^2=64+361+121=546$，沿 $v$ 的分量平方 $=(\vec{w}\cdot v)^2=19^2=361$，距離 $=\sqrt{546-361}=\sqrt{185}$，與上一步相符。$185=5\times 37$ 無平方因數，已是最簡根式。答案為 $\sqrt{185}$。

關鍵觀念：#空間座標 #平面與直線 #兩歪斜平行線距離