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110學年新莊國中第2次段考數學 第19題 詳解

仰角應用問題求樹高 · 非選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
二、計算題：(共10分)　【請把答案寫在答案卷上　※注意!沒有計算過程不予計分】
1.如上圖(十四)，小東想知道樹木的高度CE‾\overline{CE}，已知小東的眼睛(A點)到地面的垂直高度AD‾\overline{AD}為150公分，他的一個大跨步為80公分，他從D點到E點走了4個大跨步，小東的眼睛(A點)仰望C點的仰角∠CAB\angle CAB為37度(tan37°約0.7)，求樹木的高度約為多少公尺？
四個點構成一個直角形狀：$D$ 在左下角、$A$ 在 $D$ 正上方、$B$ 在 $A$ 右側同高處、$E$ 在 $B$ 正下方（與 $D$ 同高，$D$、$E$ 之間為底邊）。$A$ 到 $D$、$D$ 到 $E$、$E$ 到 $B$ 三邊以細線畫出一個矩形的三邊（$A$ 到 $B$ 為矩形第四邊，以細線畫出）。另有一點 $C$ 在 $B$ 正上方，由 $A$ 畫一條線段直接連到 $C$（斜線），$B$ 到 $C$ 為一段豎直線段（與 $A$-$D$、$E$-$B$ 平行）。

答案3.74 公尺看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    tan 的定義與圖形

    在直角三角形裡，一個銳角的 tan⁡\tan 是「對邊 ÷\div 鄰邊」。看圖，AD‾\overline{AD} 與 CE‾\overline{CE} 垂直地面、AB‾\overline{AB} 與地面平行，所以 ABEDABED 是長方形，△ABC\triangle ABC 在 BB 是直角。對仰角 ∠CAB\angle CAB 來說，對邊是 BC‾\overline{BC}，鄰邊是 AB‾\overline{AB}。
  2. 2

    求 AB

    DE‾=4×80=320\overline{DE}=4\times80=320 公分 =3.2=3.2 公尺。ABEDABED 是長方形，對邊相等，AB‾=DE‾=3.2\overline{AB}=\overline{DE}=3.2 公尺。
  3. 3

    求 BC

    tan⁡37∘=BC‾AB‾≈0.7\tan37^\circ=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}\approx0.7，所以 BC‾≈3.2×0.7=2.24\overline{BC}\approx3.2\times0.7=2.24 公尺。
  4. 4

    求 CE

    BE‾=AD‾=150\overline{BE}=\overline{AD}=150 公分 =1.5=1.5 公尺，CE‾=BC‾+BE‾≈2.24+1.5=3.74\overline{CE}=\overline{BC}+\overline{BE}\approx2.24+1.5=3.74 公尺。答：樹高約 3.743.74 公尺。
答案
3.74 公尺

關鍵觀念：#仰角 #應用問題 #三角比（課外補充）

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常見卡點
最常見的錯是算出 BC‾=2.24\overline{BC}=2.24 就當成樹高，忘了 BC‾\overline{BC} 只是從眼睛高度量上去的那一段，還要加上眼睛離地的 1.51.5 公尺。另外單位要統一：身高與步長給公分、答案要公尺，先換成公尺再代入，就不會把 150150 和 2.242.24 直接相加。

還是卡住嗎？

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