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110學年新莊國中第2次段考數學 第20題 詳解

由分點比例求延伸點坐標 · 非選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案(−2,−74)(-2,-\dfrac74)看逐步解析 ↓

題目
2.如圖(十五)， 坐標平面上兩點A(3,2)、B(-1,-1)，其中AB‾\overline{AB}：BC‾\overline{BC}=4:1，則C點的坐標為何？
坐標平面，原點標示 $O$，$x$ 軸向右、$y$ 軸向上，皆有箭頭。一條直線由左下往右上貫穿整個畫面，從原點附近經過。直線上標有三個點：右上方的點標示 $A(3,2)$；左下方靠近原點處的點標示 $B(-1,-1)$；再往左下方、比 $B$ 更遠離原點處的點標示 $C$（僅標字母，無座標數字）。

逐步解析

  1. 1

    C 的位置

    看圖，CC 在直線 ABAB 上、位在 BB 的外側，也就是從 AA 往 BB 的方向再延伸過去，AB‾:BC‾=4:1\overline{AB}:\overline{BC}=4:1。
  2. 2

    作兩個直角三角形

    過 BB 作水平線、過 AA 作鉛直線，交於 P(3,−1)P(3,-1)，得直角 △BPA\triangle BPA，兩股 BP‾=4\overline{BP}=4、PA‾=3\overline{PA}=3。過 CC 作水平線、過 BB 作鉛直線，交於 QQ，得直角 △CQB\triangle CQB。兩個三角形的水平邊互相平行、鉛直邊互相平行，所以 ∠ABP=∠BCQ\angle ABP=\angle BCQ，又都有直角，△CQB∼△BPA\triangle CQB\sim\triangle BPA。
  3. 3

    求 x 坐標

    相似比 BC‾:AB‾=1:4\overline{BC}:\overline{AB}=1:4，所以 CQ‾=14BP‾=14×4=1\overline{CQ}=\dfrac14\overline{BP}=\dfrac14\times4=1。CC 在 BB 的左邊，x=−1−1=−2x=-1-1=-2。
  4. 4

    求 y 坐標

    QB‾=14PA‾=14×3=34\overline{QB}=\dfrac14\overline{PA}=\dfrac14\times3=\dfrac34。CC 在 BB 的下方，y=−1−34=−74y=-1-\dfrac34=-\dfrac74。
  5. 5

    答案

    答：CC 點的坐標為 (−2,−74)\left(-2,-\dfrac74\right)。
答案
(−2,−74)(-2,-\dfrac74)

關鍵觀念：#坐標平面 #相似三角形

常見卡點
最常見的錯是方向弄反：CC 在 BB 的左下方，所以是從 BB 再減去 11 與 34\dfrac34；若往右上加，會得到 (0,−14)\left(0,-\dfrac14\right)，那個點落在 AB‾\overline{AB} 之間，不在 BB 的外側。另外比例是 BC‾\overline{BC} 比 AB‾\overline{AB} 等於 1:41:4，要乘 14\dfrac14 而不是 15\dfrac15。

還是卡住嗎？

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