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110學年新莊國中第2次段考數學 第16題 詳解

弦心距與扇形面積 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
16.( )如圖(十一)，圓O的半徑為3公分，sin⁡A=22\sin A=\dfrac{\sqrt2}{2}，OM‾⊥AB‾\overline{OM}\perp\overline{AB}，求扇形AOB面積為何？
(A) 3π　　(B) 2.5π　　(C) 2.25π　　(D) 1.8π
一個圓，圓心標示 $O$（在圓上方偏內處）。圓周上兩點 $A$（左側）、$B$（右側），$A$、$B$ 之間畫有一條水平線段（弦）。由 $O$ 向下畫一條線段到這條水平線段上一點，標示 $M$，$O$ 到 $M$ 的線段與 $\overline{AB}$ 垂直相交（交點處有直角記號）。另畫有 $O$ 到 $A$、$O$ 到 $B$ 的線段，構成一個等腰三角形 $OAB$。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    sin 的定義

    在直角三角形裡，一個銳角的 sin⁡\sin 是「對邊 ÷\div 斜邊」。OM‾⊥AB‾\overline{OM}\perp\overline{AB}，所以 △OMA\triangle OMA 是以 MM 為直角的直角三角形。對 ∠A\angle A 來說，對邊是 OM‾\overline{OM}，斜邊是半徑 OA‾=3\overline{OA}=3。
  2. 2

    算出 OM 與 AM

    sin⁡A=OM‾3=22\sin A=\dfrac{\overline{OM}}{3}=\dfrac{\sqrt2}{2}，得 OM‾=322\overline{OM}=\dfrac{3\sqrt2}{2}。由畢氏定理 AM‾2=32−(322)2=9−92=92\overline{AM}^2=3^2-\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2=9-\dfrac92=\dfrac92，所以 AM‾=322=OM‾\overline{AM}=\dfrac{3\sqrt2}{2}=\overline{OM}。
  3. 3

    求圓心角

    AM‾=OM‾\overline{AM}=\overline{OM}，△OMA\triangle OMA 是等腰直角三角形，∠AOM=45∘\angle AOM=45^\circ。OA‾=OB‾\overline{OA}=\overline{OB}，OM‾\overline{OM} 是等腰三角形 OABOAB 底邊上的高，也平分頂角，所以 ∠AOB=2×45∘=90∘\angle AOB=2\times45^\circ=90^\circ。
  4. 4

    扇形面積

    扇形 AOBAOB 面積 =π×32×90360=94π=2.25π=\pi\times3^2\times\dfrac{90}{360}=\dfrac94\pi=2.25\pi。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#扇形面積 #弦心距 #三角比（課外補充） #特殊直角三角形

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常見卡點
最常見的錯是把 ∠A=45∘\angle A=45^\circ 當成扇形的圓心角，算出 98π\dfrac98\pi，不在選項中。扇形 AOBAOB 的圓心角是頂點在 OO 的 ∠AOB\angle AOB，要由 ∠A=45∘\angle A=45^\circ 推到 ∠AOM=45∘\angle AOM=45^\circ，再乘以 22。另外要注意，扇形面積要用圓心角占 360∘360^\circ 的比例，不是用 ∠A\angle A。

還是卡住嗎？

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