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110學年新莊國中第2次段考數學 第15題 詳解

以直角邊為半徑畫弧交斜邊求線段長 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
15.( )如圖(十)，△ABC中，∠C=90°\angle C=90°，今以C點為圓心，BC‾\overline{BC}的長為半徑畫弧，此弧交AB‾\overline{AB}於D點，若AC‾=4\overline{AC}=4，BC‾=3\overline{BC}=3，則AD‾\overline{AD}的長度為何？
(A) 0.4　　(B) 1　　(C) 1.4　　(D) 1.5
一個直角三角形，$B$ 在左下角、$C$ 在右下角、$A$ 在右上角；$C$ 頂點附近的線段方向顯示直角。$\overline{BC}$ 為下方水平邊、$\overline{AC}$ 為右側豎直邊、$\overline{AB}$ 為連接左下與右上的斜邊。斜邊上標有一點 $D$，$D$ 到 $A$ 之間為實線、$D$ 到 $B$ 之間也是實線（同屬斜邊 $\overline{AB}$ 的一部分）；另有一條虛線弧線由 $B$ 附近彎向 $D$ 附近，弧線呈現以 $C$ 為圓心、往左上方彎曲的弧形。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先求斜邊

    ∠C=90∘\angle C=90^\circ，由畢氏定理 AB‾=42+32=5\overline{AB}=\sqrt{4^2+3^2}=5。
  2. 2

    作高找中點

    DD 在以 CC 為圓心、半徑 33 的弧上，所以 CD‾=CB‾=3\overline{CD}=\overline{CB}=3，△CBD\triangle CBD 是等腰三角形。從 CC 作 CH‾⊥AB‾\overline{CH}\perp\overline{AB} 於 HH，等腰三角形底邊上的高會平分底邊，所以 BD‾=2BH‾\overline{BD}=2\overline{BH}。
  3. 3

    用相似求 BH

    △CBH\triangle CBH 與 △ABC\triangle ABC：∠B\angle B 共用、∠CHB=∠ACB=90∘\angle CHB=\angle ACB=90^\circ，所以相似。BH‾BC‾=BC‾AB‾\dfrac{\overline{BH}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}，BH‾=3×35=1.8\overline{BH}=\dfrac{3\times3}{5}=1.8。
  4. 4

    求 AD

    BD‾=2×1.8=3.6\overline{BD}=2\times1.8=3.6，AD‾=5−3.6=1.4\overline{AD}=5-3.6=1.4。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#畢氏定理 #圓弧 #直角三角形 #相似三角形 #等腰三角形

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常見卡點
最常見的錯是以為 BD‾\overline{BD} 也是半徑 33，得出 AD‾=5−3=2\overline{AD}=5-3=2，不在選項中。半徑是從圓心 CC 出發的 CB‾\overline{CB}、CD‾\overline{CD}，BD‾\overline{BD} 是弧上兩點之間的弦，比半徑長。抓住等腰三角形 CBDCBD 的高會平分底邊，再用相似求一半，就能算出弦長。

還是卡住嗎？

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