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110學年新莊國中第2次段考數學 第14題 詳解

圓內兩弦相交求線段長 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
14.( )如圖(九)，圓內兩弦AB‾\overline{AB}、CD‾\overline{CD}交於E點，∠BAC=50°\angle BAC=50°，∠ABD=60°\angle ABD=60°，已知AC‾=2\overline{AC}=2，BD‾=5\overline{BD}=5，BE‾=3\overline{BE}=3，則CE‾\overline{CE}的長度為？
(A) 1　　(B) 1.2　　(C) 2.6　　(D) 4
一個圓，圓周上四點依順時針方向依序為 $A$（左上）、$D$（右上）、$B$（右下）、$C$（左下）。圓內畫有兩條互相交叉的線段：$A$ 到 $B$、$D$ 到 $C$，交點標示 $E$。另外還畫有 $A$ 到 $C$ 的線段（左側短邊）與 $D$ 到 $B$ 的線段（右側短邊）。$C$ 頂點附近標示數字 $1$（在 $\overline{CA}$ 與 $\overline{CE}$ 之間的夾角處），$D$ 頂點附近標示數字 $2$（在 $\overline{DE}$ 與 $\overline{DB}$ 之間的夾角處），$E$ 點附近標示數字 $3$（在交叉處的夾角）。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    找相等的圓周角

    ∠BAC\angle BAC 與 ∠BDC\angle BDC 都對 \overparenBC\overparen{BC}，所以 ∠BDC=50∘\angle BDC=50^\circ；∠ABD\angle ABD 與 ∠ACD\angle ACD 都對 \overparenAD\overparen{AD}，所以 ∠ACD=60∘\angle ACD=60^\circ。
  2. 2

    找相似三角形

    看 △ACE\triangle ACE 與 △DBE\triangle DBE：∠CAE=∠BDE=50∘\angle CAE=\angle BDE=50^\circ，∠ACE=∠DBE=60∘\angle ACE=\angle DBE=60^\circ，所以 △ACE∼△DBE\triangle ACE\sim\triangle DBE，對應頂點 A↔DA\leftrightarrow D、C↔BC\leftrightarrow B、E↔EE\leftrightarrow E。
  3. 3

    列比例

    對應邊成比例：CE‾BE‾=AC‾DB‾=25\dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{DB}}=\dfrac25，所以 CE‾=3×25=1.2\overline{CE}=3\times\dfrac25=1.2。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#圓內兩弦 #相似三角形 #圓周角

常見卡點
相似三角形最怕對應邊配錯。要從角去配：CC 對 BB 都是 60∘60^\circ 的頂點，所以 CE‾\overline{CE} 對應 BE‾\overline{BE}、AC‾\overline{AC} 對應 DB‾\overline{DB}。若寫成 CE‾:BE‾=5:2\overline{CE}:\overline{BE}=5:2，會得 7.57.5，不在選項中。一定要先把對應頂點排好順序，再讀出對應邊。

還是卡住嗎？

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