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110學年新莊國中第2次段考數學 第10題 詳解

兩切線交角求圓周角 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
10.( )如圖(六)，PA→\overrightarrow{PA}、PB→\overrightarrow{PB}分別切圓O於A、B兩點，已知∠P=70°\angle P=70°，求∠C\angle C的度數？
(A) 35°　　(B) 50°　　(C) 55°　　(D) 110°。
一個圓，圓心標示 $O$。圓周上三點：$C$ 在左側、$A$ 在右上方、$B$ 在下方。由 $C$ 畫一條線段經過圓內部連到 $A$（此線段不通過圓心 $O$，$O$ 落在該線段下方）；另由 $C$ 畫一條線段連到 $B$。過 $A$ 點有一條直線與圓相切，往右下方延伸；過 $B$ 點有一條水平直線與圓相切，往右延伸；這兩條切線在圓外右側交於一點，標示 $P$。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    切線垂直半徑

    連 OA‾\overline{OA}、OB‾\overline{OB}。PA→\overrightarrow{PA}、PB→\overrightarrow{PB} 都是切線，切線垂直於過切點的半徑，所以 ∠OAP=∠OBP=90∘\angle OAP=\angle OBP=90^\circ。
  2. 2

    求圓心角 AOB

    四邊形 OAPBOAPB 內角和 360∘360^\circ：∠AOB=360∘−90∘−90∘−70∘=110∘\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-70^\circ=110^\circ。
  3. 3

    求圓周角 C

    看圖，CC 在圓的左側，和 PP 分在弦 AB‾\overline{AB} 的兩邊，所以 ∠ACB\angle ACB 所對的是靠近 PP 的那段 \overparenAB\overparen{AB}，也就是圓心角 ∠AOB\angle AOB 所對的弧。∠C=12×110∘=55∘\angle C=\dfrac12\times110^\circ=55^\circ。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#切線垂直半徑 #圓周角 #圓心角

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常見卡點
算出圓心角 110∘110^\circ 就直接選 (D) 是最常見的錯：∠C\angle C 的頂點在圓周上，是圓周角，要再除以 22。也有人把 ∠P=70∘\angle P=70^\circ 直接除以 22 得 35∘35^\circ 選 (A)，但 ∠P\angle P 的頂點在圓外，不是圓心角，不能這樣用。要先用兩個直角求出真正的圓心角。

還是卡住嗎？

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