110學年新莊國中第2次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   D 落在 BC 上

   $\angle B=45^\circ$、$\angle C=30^\circ$ 都是銳角，所以從 $A$ 作的高，垂足 $D$ 落在 $\overline{BC}$ 上，$\overline{BC}=\overline{BD}+\overline{DC}$。
2. 2

   等腰直角三角形

   $\triangle ABD$ 中 $\angle ADB=90^\circ$、$\angle B=45^\circ$，所以 $\angle BAD=45^\circ$，是等腰直角三角形，$\overline{AD}=\overline{BD}$。由畢氏定理 $2\overline{AD}^2=(6\sqrt2)^2=72$，得 $\overline{AD}=\overline{BD}=6$。
3. 3

   正三角形的一半

   $\triangle ADC$ 中 $\angle C=30^\circ$、$\angle DAC=60^\circ$，它是正三角形沿高切一半的形狀：$30^\circ$ 角的對邊 $\overline{AD}$ 是斜邊 $\overline{AC}$ 的一半，所以 $\overline{AC}=12$，再由畢氏定理 $\overline{DC}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt3$。
4. 4

   算面積

   $\overline{BC}=6+6\sqrt3$，面積 $=\dfrac12\times(6+6\sqrt3)\times6=18+18\sqrt3$。故選 (B)。

關鍵觀念：#特殊直角三角形 #畢氏定理

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