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110學年新莊國中第2次段考數學 第18題 詳解

已知兩邊與夾角求內接菱形面積 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
18.( )如圖(十三)，△ABC中，∠BAC=120°\angle BAC=120°，四邊形ADEF是菱形，若AB‾=8\overline{AB}=8，AC‾=24\overline{AC}=24，求菱形ADEF的面積為何？
(A) 25　　(B) 18318\sqrt3　　(C) 48348\sqrt3　　(D) 96　平方單位。
一個三角形，$B$ 在左下角、$C$ 在右下角、$A$ 在上方，$\overline{BC}$ 為底邊。$D$ 點在 $\overline{AB}$ 上、$F$ 點在 $\overline{AC}$ 上、$E$ 點在底邊 $\overline{BC}$ 上；另畫出 $D$ 到 $E$、$E$ 到 $F$ 兩條線段，與 $\overline{AD}$、$\overline{AF}$ 圍成四邊形 $A$-$D$-$E$-$F$。六個點都標有小圓點。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    菱形的邊平行

    看圖，DD 在 AB‾\overline{AB} 上、FF 在 AC‾\overline{AC} 上、EE 在 BC‾\overline{BC} 上。菱形 ADEFADEF 四邊等長且對邊平行，設邊長為 ss，則 DE‾∥AF‾\overline{DE}\parallel\overline{AF}，也就是 DE‾∥AC‾\overline{DE}\parallel\overline{AC}。
  2. 2

    相似求邊長

    DE‾∥AC‾\overline{DE}\parallel\overline{AC}，所以 △BDE∼△BAC\triangle BDE\sim\triangle BAC：DE‾AC‾=BD‾BA‾\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{BA}}，即 s24=8−s8\dfrac{s}{24}=\dfrac{8-s}{8}。交叉相乘 8s=192−24s8s=192-24s，32s=19232s=192，s=6s=6。
  3. 3

    拆成兩個正三角形

    菱形 ∠DAF=120∘\angle DAF=120^\circ，鄰角 ∠ADE=60∘\angle ADE=60^\circ。連對角線 AE‾\overline{AE}，△ADE\triangle ADE 中 DA‾=DE‾=6\overline{DA}=\overline{DE}=6 且頂角 60∘60^\circ，是邊長 66 的正三角形；△AFE\triangle AFE 同理。
  4. 4

    算面積

    正三角形取一半是 30∘30^\circ、60∘60^\circ 的直角三角形，邊長 66 的正三角形高為 62−32=33\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3，面積 12×6×33=93\dfrac12\times6\times3\sqrt3=9\sqrt3。菱形面積 =2×93=183=2\times9\sqrt3=18\sqrt3。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#菱形面積 #相似三角形 #三角形面積 #正三角形

常見卡點
(C) 的 48348\sqrt3 是整個 △ABC\triangle ABC 的面積，(D) 的 9696 是誤把 ∠A\angle A 當直角、直接算 12×8×24\dfrac12\times8\times24。題目問的是菱形，要先用 DE‾∥AC‾\overline{DE}\parallel\overline{AC} 找相似求出邊長 66，再利用 120∘120^\circ 把菱形拆成兩個正三角形，面積才算得對。

還是卡住嗎？

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