114學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

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逐步解析

1. 1

   認出這是相交弦

   $\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 是同一圓內的兩條弦，交於圓內一點 $P$，這正是相交弦的標準情形：兩弦被交點分成的四段長度之間有固定關係。
2. 2

   看看關係怎麼來的

   連 $\overline{AC}$ 與 $\overline{DB}$。$\angle CAP$ 與 $\angle BDP$ 都是對 $\widehat{CB}$ 的圓周角，所以相等；$\angle APC$ 與 $\angle DPB$ 是對頂角，也相等。由 AA 得 $\triangle APC\sim\triangle DPB$，於是 $\dfrac{\overline{PA}}{\overline{PD}}=\dfrac{\overline{PC}}{\overline{PB}}$，交叉相乘就得到 $\overline{PA}\times\overline{PB}=\overline{PC}\times\overline{PD}$。
3. 3

   代入數字

   把 $\overline{PA}=2$、$\overline{PB}=6$、$\overline{PC}=3$ 代進去：$2\times 6=3\times\overline{PD}$，即 $12=3\overline{PD}$，所以 $\overline{PD}=4$。

關鍵觀念：#圓內兩弦相交 #相交弦定理

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