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114學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

三角形內切圓與正方形求半徑 · 填充 · 題目出處：114 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十二) 圓 OO 分別與 △ABC\triangle ABC 的三邊相切於 DD、EE、FF 三點，已知 AB‾=8\overline{AB}=8、AC‾=15\overline{AC}=15、BC‾=17\overline{BC}=17，且四邊形 ODAEODAE 為正方形，則：圓 OO 的半徑=___(G)___ (2-1)
直角三角形ABC：A在左下（直角記號在A）、B在左上、C在右下。內切圓O與AB邊切於D（在AB上靠A側）、與AC邊切於E（在AC上靠A側）、與BC邊切於F（在BC中段）；圖中畫出線段DO與OE，與AD、AE圍成正方形ODAE。圖上沒有O到B、O到C的線段。
圖(十二)

答案33看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先確認是直角三角形

    檢查三邊：82+152=64+225=2898^2+15^2=64+225=289，而 172=28917^2=289，兩者相等。由畢氏定理的逆定理，△ABC\triangle ABC 是直角三角形，直角在最長邊 BC‾\overline{BC} 的對角，也就是 ∠A=90°\angle A=90°，這也和四邊形 ODAEODAE 是正方形的條件吻合。
  2. 2

    正方形告訴我們兩段切線長

    四邊形 ODAEODAE 是正方形，它的邊 OD‾\overline{OD}、OE‾\overline{OE} 都是圓的半徑 rr，所以 AD‾=AE‾=r\overline{AD}=\overline{AE}=r。
  3. 3

    用切線長相等拆另外兩邊

    從圓外一點作的兩條切線段等長。從 BB 作的是 BD‾\overline{BD} 與 BF‾\overline{BF}，所以 BF‾=BD‾=AB‾−AD‾=8−r\overline{BF}=\overline{BD}=\overline{AB}-\overline{AD}=8-r；從 CC 作的是 CE‾\overline{CE} 與 CF‾\overline{CF}，所以 CF‾=CE‾=AC‾−AE‾=15−r\overline{CF}=\overline{CE}=\overline{AC}-\overline{AE}=15-r。
  4. 4

    沿著斜邊列方程式

    FF 在 BC‾\overline{BC} 上，所以 BC‾=BF‾+FC‾=(8−r)+(15−r)=23−2r\overline{BC}=\overline{BF}+\overline{FC}=(8-r)+(15-r)=23-2r。已知 BC‾=17\overline{BC}=17，得 23−2r=1723-2r=17，2r=62r=6，所以 r=3r=3。
答案
33

關鍵觀念：#內切圓 #切線長定理 #畢氏定理

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常見卡點
內切圓的題目最怕把半徑猜成某條邊的一半，例如看到 AB‾=8\overline{AB}=8 就寫 r=4r=4。真正的工具是切線長相等：圓外一點到圓的兩條切線段一樣長，所以斜邊可以被拆成 (8−r)+(15−r)(8-r)+(15-r)，一條方程式就解完。另外直角三角形還有個好用的結論可以驗算：r=兩股和−斜邊2=8+15−172=3r=\dfrac{\text{兩股和}-\text{斜邊}}{2}=\dfrac{8+15-17}{2}=3，答案一致就放心了。

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