114學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

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逐步解析

1. 1

   切線給出直角

   $\overline{PB}$ 是圓 $O$ 的切線、$B$ 是切點，半徑垂直切線，所以 $\overline{OB}\perp\overline{PB}$。也就是說 $\triangle OPB$ 是直角三角形，而且直角在切點 $B$，兩股是 $\overline{PB}$ 與 $\overline{OB}$，斜邊是 $\overline{PO}$。
2. 2

   把斜邊用半徑表示

   設圓半徑為 $r$。$A$ 在圓上，而且落在 $\overline{PO}$ 上，所以 $\overline{AO}=r$，整條斜邊 $\overline{PO}=\overline{PA}+\overline{AO}=6+r$。
3. 3

   用畢氏定理解出半徑

   $\overline{PB}^2+\overline{OB}^2=\overline{PO}^2$，代入得 $12^2+r^2=(6+r)^2$。展開右式：$144+r^2=36+12r+r^2$，消掉 $r^2$ 得 $144=36+12r$，$12r=108$，所以 $r=9$。
4. 4

   算出三角形面積

   直角三角形 $OPB$ 的兩股是 $\overline{PB}=12$ 與 $\overline{OB}=r=9$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times 12\times 9=54$。

關鍵觀念：#切線長定理 #三角形面積

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