114學年鷺江國中第2次段考數學 第24題 詳解

答案$\dfrac{12}{5}$（或 $2.4$）看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   切線給出半徑與垂直

   這段弧是以 $C$ 為圓心、$\overline{CD}$ 為半徑畫的，而它和 $\overline{AB}$ 相切於 $E$。所以 $\overline{CE}$ 也是這個圓的半徑，$\overline{CE}=\overline{CD}=3$；又半徑垂直切線，所以 $\overline{CE}\perp\overline{AB}$。
2. 2

   求出 AC 與 AE

   $D$ 在 $\overline{AC}$ 上，所以 $\overline{AC}=\overline{AD}+\overline{DC}=2+3=5$。在直角三角形 $AEC$ 中（直角在 $E$），由畢氏定理 $\overline{AE}=\sqrt{\overline{AC}^2-\overline{CE}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
3. 3

   先算大三角形的面積

   $\triangle ACE$ 的直角在 $E$，兩股是 $\overline{AE}=4$ 與 $\overline{CE}=3$，所以面積 $=\dfrac{1}{2}\times 4\times 3=6$。
4. 4

   等高就用底邊比

   $\triangle ADE$ 與 $\triangle ACE$ 有共同的頂點 $E$，底邊 $\overline{AD}$ 與 $\overline{AC}$ 又落在同一條直線上，所以從 $E$ 量下來的高是同一條，兩者是等高三角形，面積比就等於底邊比：$\overline{AD}:\overline{AC}=2:5$。
5. 5

   算出所求面積

   $\triangle ADE$ 面積 $=\triangle ACE$ 面積 $\times\dfrac{2}{5}=6\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}$。

關鍵觀念：#切線 #相似三角形 #三角形面積

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