114學年鷺江國中第2次段考數學 第25題 詳解

答案$\dfrac{45}{2}°$（或 $22.5°$）看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   兩條平行切線夾出直徑

   $L$ 切圓於 $P$、$M$ 切圓於 $Q$，半徑垂直切線，所以圓心 $O$ 到 $P$、到 $Q$ 的兩條半徑都垂直於 $L$（$L\parallel M$）。過 $O$ 垂直 $L$ 的直線只有一條，所以 $P$、$O$、$Q$ 共線，$\overline{PQ}$ 是直徑。因此從 $P$ 沿著左半邊走到 $Q$ 的那段弧是 $180°$。
2. 2

   切點是平行弦所對弧的中點

   $\overline{AB}\parallel L$，而 $L$ 只碰到圓上的 $P$ 點，所以 $P$ 是 $\widehat{AB}$ 的中點，$\widehat{PA}=\widehat{PB}$。設 $\widehat{PA}=x$，則 $\widehat{PB}=x$。
3. 3

   用斜的那組平行弦往下推

   兩條平行弦之間所夾的兩段弧相等。由 $\overline{PA}\parallel\overline{BC}$ 得 $\widehat{AC}=\widehat{PB}=x$。再由 $\overline{CD}\parallel L$ 知 $P$ 是 $\widehat{CD}$ 的中點，而 $\widehat{PC}=\widehat{PA}+\widehat{AC}=2x$，所以 $\widehat{PD}=2x$，於是 $\widehat{BD}=\widehat{PD}-\widehat{PB}=2x-x=x$。
4. 4

   繼續推到最底下

   由 $\overline{BC}\parallel\overline{DE}$ 得 $\widehat{CE}=\widehat{BD}=x$；由 $\overline{EF}\parallel L$ 知 $\widehat{PE}=\widehat{PF}$，而 $\widehat{PE}=\widehat{PC}+\widehat{CE}=3x$，所以 $\widehat{PF}=3x$，$\widehat{DF}=3x-2x=x$；再由 $\overline{DE}\parallel\overline{FQ}$ 得 $\widehat{EQ}=\widehat{DF}=x$。
5. 5

   用半圓把 x 解出來

   左半邊從 $P$ 到 $Q$ 的四段弧接起來就是半圓：$\widehat{PA}+\widehat{AC}+\widehat{CE}+\widehat{EQ}=180°$，即 $4x=180°$，所以 $x=45°$。
6. 6

   回到所求的圓周角

   $\angle BCD$ 的頂點 $C$ 在圓上，兩邊分別通過 $B$ 和 $D$，是圓周角，所對的弧是 $\widehat{BD}=x=45°$。所以 $\angle BCD=\dfrac{1}{2}\times 45°=\dfrac{45}{2}°$，也就是 $22.5°$。

關鍵觀念：#圓的切線 #平行弦 #圓周角

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