114學年鷺江國中第2次段考數學 第26題 詳解

答案$50\sqrt{3}+50$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   作一條高把圖形拆開

   $\angle B=30°$、$\angle C=45°$ 都是特殊角，但它們不在同一個直角三角形裡。從頂點 $A$ 向 $\overline{BC}$ 作高，垂足記為 $H$，這樣 $\triangle ABH$ 與 $\triangle ACH$ 都是直角三角形，而且共用高 $\overline{AH}$，$\angle B$ 和 $\angle C$ 各自落進一個。
2. 2

   用三十度處理左半邊

   在直角三角形 $ABH$ 中，$\angle AHB=90°$、$\angle B=30°$，斜邊 $\overline{AB}=20$。三邊比是 $1:\sqrt{3}:2$，$30°$ 的對邊是斜邊的一半，所以 $\overline{AH}=\dfrac{1}{2}\times 20=10$；另一股 $\overline{BH}=\sqrt{3}\times\overline{AH}=10\sqrt{3}$。
3. 3

   用四十五度處理右半邊

   在直角三角形 $ACH$ 中，$\angle AHC=90°$、$\angle C=45°$，所以 $\angle CAH=45°$，這是等腰直角三角形，兩股等長：$\overline{CH}=\overline{AH}=10$。
4. 4

   合起來算面積

   $H$ 在 $\overline{BC}$ 上，所以 $\overline{BC}=\overline{BH}+\overline{HC}=10\sqrt{3}+10$。三角形面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{BC}\times\overline{AH}=\dfrac{1}{2}\times(10\sqrt{3}+10)\times 10=50\sqrt{3}+50$。

關鍵觀念：#三角形面積 #特殊角 #正弦定理

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