114學年鷺江國中第2次段考數學 第27題 詳解

逐步解析

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   先連出 OP

   用直尺把圓心 $O$ 和圓外的點 $P$ 連起來，畫出線段 $\overline{OP}$。整個作法都建立在這條線段上，所以第一步一定要把它畫出來。
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   作 OP 的中垂線取中點

   用圓規，分別以 $O$ 和 $P$ 為圓心，取同一個大於 $\overline{OP}$ 一半的長度為半徑，各畫一段弧，兩段弧會在 $\overline{OP}$ 的上方與下方各交於一點。用直尺把這兩個交點連成一條直線，它就是 $\overline{OP}$ 的中垂線；這條線與 $\overline{OP}$ 的交點，就是中點 $M$。
3. 3

   以 M 為圓心畫輔助圓

   用圓規以 $M$ 為圓心、$\overline{MO}$ 為半徑畫一個圓。因為 $\overline{MO}=\overline{MP}$，這個圓一定會通過 $P$，換句話說它就是「以 $\overline{OP}$ 為直徑的圓」。這個圓會和原來的圓 $O$ 交於兩點，取其中一個交點記為 $T$。
4. 4

   連 PT 就是要的切線

   用直尺畫出通過 $P$ 與 $T$ 的直線，這條直線就是所求的切線 $L$。作圖用的弧線與中垂線都要留著，不要擦掉。
5. 5

   說明為什麼真的相切

   $\overline{OP}$ 是輔助圓的直徑，而 $T$ 在輔助圓上，所以 $\angle OTP=90°$（直徑所對的圓周角是直角），即 $\overline{OT}\perp$ 直線 $PT$。又 $T$ 在圓 $O$ 上，$\overline{OT}$ 是圓 $O$ 的半徑。一條直線若通過半徑的外端點且垂直於這條半徑，它就是圓的切線，所以直線 $PT$ 與圓 $O$ 相切於 $T$。
6. 6

   補充：其實有兩條

   輔助圓與圓 $O$ 本來就有兩個交點，另一個交點 $T'$ 和 $P$ 連起來也是一條切線。本題只要求畫出一條，所以取其中一個交點作答即可。

關鍵觀念：#尺規作圖 #圓的切線

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