114學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   切線給出一個直角

   $\overline{AB}$ 與小圓相切於 $C$，半徑垂直切線，所以 $\overline{OC}\perp\overline{AB}$。設大圓半徑為 $R$、小圓半徑為 $r$，則 $\overline{OC}=r$。
2. 2

   垂直於弦就會平分弦

   $\overline{OC}$ 是從大圓圓心 $O$ 出發、垂直於大圓的弦 $\overline{AB}$，所以它會平分這條弦：$C$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，$\overline{AC}=\overline{CB}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}$。
3. 3

   把陰影面積寫成式子

   陰影是大圓扣掉小圓的圓環，面積為 $\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)$。由題意 $\pi(R^2-r^2)=36\pi$，兩邊同除以 $\pi$，得 $R^2-r^2=36$。
4. 4

   用畢氏定理接起來

   連 $\overline{OA}$，它是大圓半徑 $R$。在直角三角形 $OCA$ 中（直角在 $C$），$\overline{AC}^2+\overline{OC}^2=\overline{OA}^2$，即 $\overline{AC}^2=R^2-r^2=36$，所以 $\overline{AC}=6$。
5. 5

   還原整條弦

   因為 $C$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，所以 $\overline{AB}=2\times\overline{AC}=2\times 6=12$。

關鍵觀念：#同心圓 #切線 #圓環面積

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