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114學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

半圓弧中點求圓周角 · 填充 · 題目出處：114 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(九)，AB‾\overline{AB} 為半圓的直徑，PP 為 AB^\widehat{AB} 上一點，且 QQ 為 PB^\widehat{PB} 的中點，若 ∠C=55°\angle C=55°，則 ∠ABC=\angle ABC=___(D)___ (2-2)
半圓，直徑AB（A在左、B在右），AB中點處畫有一個小黑點（圓心）；C在半圓外的右上方；線段AC與半圓弧交於P（P在弧的左上段），線段BC與半圓弧交於Q（Q在弧的右側）；圖中只畫出AB、AC、BC三條線段。
圖(九)

答案55°55°看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    連一條輔助線造出直角

    把 AQ‾\overline{AQ} 連起來。AB‾\overline{AB} 是直徑、QQ 在圓上，所以 ∠AQB=90°\angle AQB=90°（直徑所對的圓周角是直角）。而 QQ 在 BC‾\overline{BC} 上，所以 AQ‾\overline{AQ} 也垂直於 QC‾\overline{QC}，即 ∠AQC=90°\angle AQC=90°。
  2. 2

    在直角三角形中求角

    △AQC\triangle AQC 中 ∠AQC=90°\angle AQC=90°、∠C=55°\angle C=55°，由內角和得 ∠QAC=180°−90°−55°=35°\angle QAC=180°-90°-55°=35°。
  3. 3

    把角換成弧

    PP 在 AC‾\overline{AC} 上，所以 ∠QAC\angle QAC 就是圓周角 ∠QAP\angle QAP，它所對的是 PQ^\widehat{PQ}。由圓周角等於所對弧的一半，得 PQ^=2×35°=70°\widehat{PQ}=2\times 35°=70°。
  4. 4

    用弧的中點

    QQ 是 PB^\widehat{PB} 的中點，代表 PQ^=QB^\widehat{PQ}=\widehat{QB}，所以 QB^=70°\widehat{QB}=70°。
  5. 5

    回到所求的角

    ∠QAB\angle QAB 是圓周角，對的是 QB^\widehat{QB}，所以 ∠QAB=12×70°=35°\angle QAB=\dfrac{1}{2}\times 70°=35°。在 △AQB\triangle AQB 中 ∠AQB=90°\angle AQB=90°，故 ∠ABQ=90°−35°=55°\angle ABQ=90°-35°=55°。又 QQ 在 BC‾\overline{BC} 上，∠ABC\angle ABC 就是 ∠ABQ\angle ABQ，所以 ∠ABC=55°\angle ABC=55°。
答案
55°55°

關鍵觀念：#半圓 #弧的中點 #圓周角

常見卡點
這題要在「角」和「弧」之間來回換兩次，中間靠「直徑對直角」把 ∠C\angle C 拉進直角三角形。常見的卡關有兩個：一是想把 ∠C\angle C 直接減半當成答案，但 CC 在圓外不是圓周角，不能這樣用；二是算出 PQ^=70°\widehat{PQ}=70° 就停住，忘了題目給「QQ 是 PB^\widehat{PB} 的中點」正是要把這個度數複製到 QB^\widehat{QB}。作法是先連 AQ‾\overline{AQ} 造出兩個直角三角形，再把每個角換成它對的弧，弧湊齊了再換回角。

還是卡住嗎？

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