114學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

答案(1) $3:4:3$ (2) $3:8:9$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把半徑和圓心角設出來

   半徑比是 $1:2:3$，設三圓半徑分別為 $r$、$2r$、$3r$；圓心角比是 $3:2:1$，設 $\angle AO_1B=3\theta$、$\angle CO_2D=2\theta$、$\angle EO_3F=\theta$。用同一個 $r$ 和同一個 $\theta$ 把六個量寫出來，比值才好算。
2. 2

   弧長和什麼成正比

   圓心角 $n°$ 所對的弧長是 $2\pi r\times\dfrac{n}{360}$。式子裡 $2\pi$ 和 $360$ 都是固定的，所以弧長和「半徑乘圓心角」成正比。
3. 3

   算出第一格的弧長比

   $\widehat{AB}:\widehat{CD}:\widehat{EF}=(r\times 3\theta):(2r\times 2\theta):(3r\times\theta)=3r\theta:4r\theta:3r\theta=3:4:3$。所以第一格填 $3:4:3$。
4. 4

   扇形面積和什麼成正比

   圓心角 $n°$ 的扇形面積是 $\pi r^2\times\dfrac{n}{360}$，同樣把固定的部分拿掉，扇形面積和「半徑平方乘圓心角」成正比。注意這裡半徑要先平方，這是和弧長最大的差別。
5. 5

   算出第二格的面積比

   半徑平方比是 $1^2:2^2:3^2=1:4:9$，再乘上角度比：$(1\times 3):(4\times 2):(9\times 1)=3:8:9$。所以第二格填 $3:8:9$。

關鍵觀念：#弧長 #扇形面積 #圓心角

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