114學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先確定 PQ 是直徑

   圓與 $\overline{DC}$ 切於 $P$、與 $\overline{AB}$ 切於 $Q$，半徑垂直切線，所以 $\overline{OP}\perp\overline{DC}$、$\overline{OQ}\perp\overline{AB}$。矩形中 $\overline{DC}\parallel\overline{AB}$，所以 $\overline{OP}$ 和 $\overline{OQ}$ 在同一條直線上，$P$、$O$、$Q$ 共線，$\overline{PQ}$ 是直徑，$O$ 是 $\overline{PQ}$ 的中點。
2. 2

   檢查乙的作法

   $O$ 到 $\overline{AD}$ 的距離是 $\overline{OR}=r$，到 $\overline{AB}$ 的距離是 $\overline{OQ}=r$，兩者相等，所以 $O$ 落在 $\angle DAB$ 的角平分線上。上一步又說 $O$ 在 $\overline{PQ}$ 上。角平分線是斜的、$\overline{PQ}$ 垂直於 $\overline{AB}$，兩線不平行，交點只有一個，正是 $O$。乙的作法成立。
3. 3

   檢查甲的第一條線

   $\overline{PR}$ 的兩端 $P$、$R$ 都在圓上，所以 $\overline{PR}$ 是一條弦。弦的中垂線必定通過圓心，所以甲畫的中垂線 $M$ 一定過 $O$。
4. 4

   檢查甲的第二條線

   $\overline{OR}\perp\overline{AD}$，而 $\overline{AD}\perp\overline{AB}$，所以 $\overline{OR}\parallel\overline{AB}$，於是 $\overline{OR}\perp\overline{PQ}$。$O$ 又是 $\overline{PQ}$ 的中點，可見直線 $RO$ 就是 $\overline{PQ}$ 的中垂線，因此 $\overline{RP}=\overline{RQ}$。$\triangle RPQ$ 是等腰三角形，等腰三角形頂角的角平分線和底邊的中垂線是同一條，所以 $\angle PRQ$ 的角平分線 $L$ 也是直線 $RO$，當然過 $O$。
5. 5

   兩條線交出唯一的點

   $L$ 垂直於 $\overline{PQ}$、$M$ 垂直於 $\overline{PR}$，方向不同所以不會重合，兩條線都過 $O$，交點就只有 $O$ 一點，甲的作法也成立。兩人都對，故選 (D)。

關鍵觀念：#內切圓 #角平分線 #中垂線

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