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114學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

弧度差與圓外角求角度 · 單選 · 題目出處：114 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(五)，∠DPC=60°\angle DPC=60°，AB^−CD^=20°\widehat{AB}-\widehat{CD}=20°，則 ∠DAC=\angle DAC=？(2-2)
(A) 25°25°
(B) 30°30°
(C) 35°35°
(D) 45°45°
圓，D在圓上左上、A在圓上右上、C在圓上左側偏下、B在圓上右下。弦DB與弦CA在圓內相交於P（P在圓心附近偏右下）；圖中另畫出弦DA。
圖(五)

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先看清楚 P 是什麼點

    圖中 PP 落在圓的內部，是弦 DB‾\overline{DB} 與弦 CA‾\overline{CA} 的交點。兩弦在圓內相交所夾的角，等於它所對的兩段弧度數和的一半，這和圓外交角用「差」是不一樣的，要先分清楚。
  2. 2

    列出第一個式子

    ∠DPC\angle DPC 張開的方向對到的是 DC^\widehat{DC}，它的對頂角對到的是 AB^\widehat{AB}，所以 ∠DPC=12(DC^+AB^)\angle DPC=\dfrac{1}{2}(\widehat{DC}+\widehat{AB})。代入 ∠DPC=60°\angle DPC=60°，得 DC^+AB^=120°\widehat{DC}+\widehat{AB}=120°。
  3. 3

    配上題目給的差

    題目另外給 AB^−CD^=20°\widehat{AB}-\widehat{CD}=20°。和上式相加：2AB^=120°+20°=140°2\widehat{AB}=120°+20°=140°，所以 AB^=70°\widehat{AB}=70°，再代回得 DC^=120°−70°=50°\widehat{DC}=120°-70°=50°。
  4. 4

    用圓周角求所求

    ∠DAC\angle DAC 的頂點 AA 在圓上，兩邊分別通過 DD 和 CC，是一個圓周角，它所對的是 DC^\widehat{DC}。所以 ∠DAC=12×50°=25°\angle DAC=\dfrac{1}{2}\times 50°=25°。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#圓外角 #弧度

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常見卡點
兩種常見錯法都剛好踩在選項上：一是把 ∠DPC\angle DPC 當成圓周角直接減半，算成 60°÷2=30°60°\div 2=30°；二是弧都解出來了卻拿錯那一段，用 AB^=70°\widehat{AB}=70° 去算，得到 70°÷2=35°70°\div 2=35°。避開的方法是兩步確認：先看交點在圓內還是圓外（圓內用兩弧和的一半，圓外才用兩弧差的一半），再確認題目要的角所對的是哪一段弧，把那段弧圈起來再動筆。

還是卡住嗎？

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