114學年鷺江國中第2次段考數學 第1題 詳解

逐步解析

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   三角比要先有直角

   $\sin$、$\cos$、$\tan$ 這三個三角比，課本是在「直角三角形」裡定義的：以某一個銳角為準，分別用對邊、鄰邊、斜邊去比。題目說的是「任意 $\triangle ABC$」，裡面不一定有直角；$\cos A$ 要放回直角三角形才量得出來，隨手拿 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 兩邊相比，和 $\cos A$ 沒有關係。
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   就算有直角也反了

   退一步說，假設剛好 $\angle C=90°$。此時 $\overline{AB}$ 是斜邊、$\overline{AC}$ 是 $\angle A$ 的鄰邊。按定義 $\cos A=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$，寫成比是 $\overline{AC}:\overline{AB}$，和題目寫的 $\overline{AB}:\overline{AC}$ 剛好上下顛倒。
3. 3

   舉一個反例

   取正三角形 $\triangle ABC$，三邊等長，所以 $\overline{AB}:\overline{AC}=1$；但此時 $\angle A=60°$，而 $\cos 60°=\dfrac{1}{2}$。$1\neq\dfrac{1}{2}$，一個反例就足以推翻這句敘述。故本題答 ×。

關鍵觀念：#三角比 #cos定義

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