108學年鷺江國中第2次段考數學 第23題 詳解

答案$(-6,-10)$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   定出圓心的 y 坐標

   $A(0,-2)$ 與 $B(0,-18)$ 都在 $y$ 軸上，$\overline{AB}$ 是圓的一條弦，弦長 $=|-2-(-18)|=16$。圓心到弦的垂線會平分這條弦，而這條垂線是水平的，所以圓心的 $y$ 坐標就等於 $A$、$B$ 的中點：$(-2+(-18))\div2=-10$。
2. 2

   用相切定出半徑

   圓與 $x$ 軸相切，表示圓心到 $x$ 軸的距離剛好等於半徑。圓心的 $y$ 坐標是 $-10$，到 $x$ 軸的距離是 $|-10|=10$，所以半徑 $r=10$。
3. 3

   用畢氏定理求 x 坐標

   設圓心為 $(h,-10)$。圓心到 $y$ 軸的距離是 $|h|$，這正是弦 $\overline{AB}$ 的弦心距；半弦長是 $16\div2=8$；半徑是 $10$。由弦心距、半弦長、半徑構成的直角三角形得 $|h|^2+8^2=10^2$，所以 $|h|^2=100-64=36$，$|h|=6$。
4. 4

   看圖決定正負號

   $|h|=6$ 表示圓心可能在 $(6,-10)$ 或 $(-6,-10)$。看圖：切點 $C$ 落在原點的左側，圓心在切點的正下方，所以圓心也在 $y$ 軸左邊，$h$ 要取負值。故圓心坐標為 $(-6,-10)$。

關鍵觀念：#坐標平面 #圓與直線相切

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