108學年鷺江國中第2次段考數學 第24題 詳解

答案① $3$ ② $5\sqrt{10}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先認出直角在哪裡

   三邊是 $5$、$12$、$13$，檢查一下：$5^2+12^2=25+144=169=13^2$。由畢氏定理的逆定理，$\triangle ABC$ 是直角三角形，而最長邊 $\overline{BC}=13$ 是斜邊，所以直角在 $A$，即 $\angle A=90°$。
2. 2

   這是旁切圓

   題目寫的是「三直線 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{BC}$ 與圓相切」，說的是直線不是邊，這就是提示。再看圖驗證：切點 $F$ 落在 $\overline{BC}$ 上沒問題，但切點 $D$ 落在 $\overline{AB}$ 的延長線上（$B$ 夾在 $A$ 與 $D$ 之間），切點 $E$ 落在 $\overline{AC}$ 的延長線上（$C$ 夾在 $A$ 與 $E$ 之間），而且圓心 $O$ 在三角形外面。這是 $\triangle ABC$ 的旁切圓，也就是和 $\angle A$ 相對的那一個旁切圓。
3. 3

   用切線長定理列出三組等式

   從圓外同一點向圓作兩條切線，切線段等長。$A$ 點給出 $\overline{AD}=\overline{AE}$；$B$ 點給出 $\overline{BD}=\overline{BF}$；$C$ 點給出 $\overline{CE}=\overline{CF}$。這三組是解這題的全部工具。
4. 4

   把兩條長切線加起來

   因為 $D$、$E$ 各在延長線上，$\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BD}$、$\overline{AE}=\overline{AC}+\overline{CE}$。兩式相加：$\overline{AD}+\overline{AE}=\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BD}+\overline{CE}=\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{BF}+\overline{CF}=5+12+\overline{BC}=5+12+13=30$。又 $\overline{AD}=\overline{AE}$，所以 $\overline{AD}=\overline{AE}=30\div2=15$，恰好是 $\triangle ABC$ 周長的一半。
5. 5

   ① 求 CE

   $E$ 在 $\overline{AC}$ 的延長線上，且 $C$ 在 $A$ 與 $E$ 之間，所以 $\overline{CE}=\overline{AE}-\overline{AC}=15-12=3$。順手驗算：$\overline{BD}=\overline{AD}-\overline{AB}=15-5=10$，於是 $\overline{BF}+\overline{CF}=10+3=13=\overline{BC}$，完全對得上。
6. 6

   ② 求 BE

   $B$ 在 $\overline{AB}$ 上、$E$ 在 $\overline{AC}$ 的延長線上，而 $\angle A=90°$，所以 $\triangle ABE$ 是直角三角形，兩股是 $\overline{AB}=5$ 與 $\overline{AE}=15$。由畢氏定理：$\overline{BE}=\sqrt{5^2+15^2}=\sqrt{25+225}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$。所以 ① $\overline{CE}=3$、② $\overline{BE}=5\sqrt{10}$。

關鍵觀念：#內切圓 #切線長定理 #畢氏定理

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