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113學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

圓周角與圓心角關係求角度 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(六)，已知 AA、BB、CC 三點皆在圓上，∠ABC=65°\angle ABC=65°，求 ∠OCA\angle OCA 為多少度？
(A) 25°25°
(B) 50°50°
(C) 57.5°57.5°
(D) 65°65°
圓O，A在上方、B在左下（標示65°角）、C在右下；圖中除三角形ABC的三邊外，另畫出O到A、O到C兩條線段（O為圓心，位於三角形內部靠上方）。
圖(六)

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    圓周角先換成弧

    ∠ABC=65°\angle ABC=65° 的頂點 BB 在圓上，是圓周角，它所對的弧是不含 BB 的 AC^\widehat{AC}。由圓周角定理，弧的度數是圓周角的兩倍：AC^=2×65°=130°\widehat{AC}=2\times 65°=130°。
  2. 2

    弧再換成圓心角

    圓心角的度數等於它所對弧的度數，而 ∠AOC\angle AOC 正好對著 AC^\widehat{AC}，所以 ∠AOC=130°\angle AOC=130°。
  3. 3

    看出等腰三角形

    OA‾\overline{OA} 與 OC‾\overline{OC} 都是半徑，長度相等，所以 △OAC\triangle OAC 是等腰三角形，兩個底角相等：∠OAC=∠OCA\angle OAC=\angle OCA。
  4. 4

    求出底角

    由三角形內角和 180°180°：∠OAC+∠OCA=180°−130°=50°\angle OAC+\angle OCA=180°-130°=50°。因為兩個底角相等，所以 ∠OCA=50°÷2=25°\angle OCA=50°\div 2=25°。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#圓周角定理 #等腰三角形

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常見卡點
兩個常見失誤。第一是漏掉「圓周角要乘 22 才是圓心角」，把 65°65° 直接當成頂角，算成 (180°−65°)÷2=57.5°(180°-65°)\div 2=57.5° 而選 (C)。第二是算出頂角 130°130° 之後忘了最後要除以 22，把 180°−130°=50°180°-130°=50° 當成單一個底角而選 (B)——那其實是兩個底角的總和。動筆時先在圖上把 OA‾\overline{OA}、OC‾\overline{OC} 標成等長，等腰的結構就不會被忽略。

還是卡住嗎？

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