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113學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

圓環面積計算 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(七)，有一個圓形運動場，兩圓所圍成之環狀區域為跑道，今測得 AB‾=8\overline{AB}=8 公尺，弦心距 TO‾=3\overline{TO}=3 公尺，則跑道面積是多少平方公尺？
(A) 9π9\pi
(B) 16π16\pi
(C) 25π25\pi
(D) 36π36\pi
圖(七)：兩個同心圓（圓心O），外圓與內圓之間的環狀區域畫有斜線陰影（跑道）；弦AB為外圓上一條水平弦（A左、B右），與內圓相切於T點，T在AB上、O在T正下方。圖上未標長度數字。

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    看懂圖中的關係

    跑道是大圓與小圓之間的環狀區域，兩圓的圓心都是 OO。AB‾\overline{AB} 是大圓的一條弦，它和小圓相切於 TT；而 TO‾\overline{TO} 是圓心到這條弦的垂線段，也就是弦心距，同時它就是小圓的半徑，r=3r=3 公尺。
  2. 2

    弦心距平分弦

    弦心距會垂直平分弦，所以 AT‾=TB‾=8÷2=4\overline{AT}=\overline{TB}=8\div 2=4 公尺。
  3. 3

    求大圓半徑的平方

    連 OA‾\overline{OA}，它是大圓的半徑 RR。△OTA\triangle OTA 是直角三角形（直角在 TT），由畢氏定理：R2=OT‾2+TA‾2=32+42=9+16=25R^2=\overline{OT}^2+\overline{TA}^2=3^2+4^2=9+16=25。
  4. 4

    算環狀面積

    跑道面積等於大圓面積減去小圓面積：πR2−πr2=π×25−π×32=π(25−9)=16π\pi R^2-\pi r^2=\pi\times 25-\pi\times 3^2=\pi(25-9)=16\pi 平方公尺。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#弦心距 #圓環面積

常見卡點
這題巧妙的地方是「不必真的把大圓半徑開出來」，只要有 R2=25R^2=25 就能算環狀面積。最常見的錯是算到 R2=25R^2=25 就停手，把大圓面積 π×25=25π\pi\times 25=25\pi 當答案而選 (C)，忘了中間那塊小圓不是跑道。也有人反過來只算小圓面積 π×32=9π\pi\times 3^2=9\pi 而選 (A)。另外要記得弦心距是「垂直且平分」，所以直角三角形的股是半條弦 44，不是整條 88。

還是卡住嗎？

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