113學年鷺江國中第2次段考數學 第7題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把四段弧命名

   $A$、$B$、$C$、$D$ 依序在圓上，把圓周分成四段弧。設 $\widehat{AB}=w$、$\widehat{BC}=x$、$\widehat{CD}=y$、$\widehat{DA}=z$，則 $w+x+y+z=360°$。
2. 2

   用 P 點的圓外角

   $P$ 是兩條割線的交點：一條依序通過 $A$、$B$，另一條依序通過 $D$、$C$。離 $P$ 近的兩點是 $A$、$D$，遠的兩點是 $B$、$C$。圓外角等於所夾兩段弧度數差的一半，所以 $\angle P=\dfrac{x-z}{2}=45°$，得 $x-z=90°$。
3. 3

   用 Q 點的圓外角

   同樣地，$Q$ 是另兩條割線的交點：一條依序通過 $D$、$A$，另一條依序通過 $C$、$B$。離 $Q$ 近的是 $D$、$C$，遠的是 $A$、$B$。所以 $\angle Q=\dfrac{w-y}{2}=35°$，得 $w-y=70°$。
4. 4

   解出兩段弧的和

   把兩個式子相加：$(x-z)+(w-y)=90°+70°=160°$，整理成 $(x+w)-(z+y)=160°$。又知道 $(x+w)+(z+y)=360°$，兩式相減得 $2(z+y)=360°-160°=200°$，所以 $z+y=100°$。
5. 5

   由圓周角求 B 角

   $\angle B$ 就是四邊形的內角 $\angle ABC$，頂點 $B$ 在圓上，是圓周角，它所對的弧是不含 $B$ 的那一段，也就是 $\widehat{DA}+\widehat{CD}=z+y=100°$。所以 $\angle B=\dfrac{100°}{2}=50°$。故選 (C)。

關鍵觀念：#圓外角 #圓周角