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113學年鷺江國中第2次段考數學 第6題 詳解

切線長與半徑求值 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(三)，CD‾\overline{CD} 切圓 OO 於 CC 點，CD‾=8\overline{CD}=8，OD‾=10\overline{OD}=10，則圓 OO 的半徑長為多少？
(A) 33
(B) 44
(C) 55
(D) 66
圖(三)：圓O（灰底），圓心O標於圓內；水平直線與圓相切於C點（C在圓正下方偏左的切點）；由O畫一線段延伸至圓外的D點（D在切線上、C的右側），此線段穿出圓周。

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    切線垂直於半徑

    CD‾\overline{CD} 切圓 OO 於 CC 點，把半徑 OC‾\overline{OC} 連出來。由切線的性質，圓心到切點的半徑會垂直於切線，所以 OC‾⊥CD‾\overline{OC}\perp\overline{CD}，即 ∠OCD=90°\angle OCD=90°。
  2. 2

    找出直角三角形

    於是 △OCD\triangle OCD 是直角三角形，直角在 CC。兩股分別是 OC‾\overline{OC}（就是要求的半徑）與 CD‾=8\overline{CD}=8，斜邊是對著直角的 OD‾=10\overline{OD}=10。
  3. 3

    用畢氏定理求半徑

    由畢氏定理：OC‾2+CD‾2=OD‾2\overline{OC}^2+\overline{CD}^2=\overline{OD}^2，代入得 OC‾2+82=102\overline{OC}^2+8^2=10^2，所以 OC‾2=100−64=36\overline{OC}^2=100-64=36，OC‾=6\overline{OC}=6。故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#切線長定理 #畢氏定理

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常見卡點
這題的關鍵是「一定要把半徑 OC‾\overline{OC} 連出來」，沒有這條輔助線就看不到直角三角形。常見的誤解是把 OD‾=10\overline{OD}=10 當成直徑，取一半算成 10÷2=510\div 2=5 而選 (C)——但 DD 在圓外，OD‾\overline{OD} 只是圓心到圓外一點的距離，不是直徑也不是半徑。另外要認清誰是斜邊：OD‾\overline{OD} 對著直角，所以是「100100 減 6464」而不是兩數相加。

還是卡住嗎？

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