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113學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

相似三角形測量寬度應用 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
牧潔老師退休後想買一間透天別墅養老，看了許多房子後，看上了一間環境清幽的獨棟別墅，別墅門口有一條大水溝，牧潔老師很喜歡這間房子，但又擔心眼睛不好，外出散步會不小心跌進水溝，牧潔老師想藉著測量的概念，設計出 △ABD\triangle ABD 與 △ACE\triangle ACE 兩個直角三角形，用來測量水溝的寬度，如圖(十)所示。請問：若 BC‾=3\overline{BC}=3 公尺，BD‾=6\overline{BD}=6 公尺，CE‾=9\overline{CE}=9 公尺，則此水溝寬度 AB‾\overline{AB} 為多少公尺？
(A) 77
(B) 66
(C) 55
(D) 44
水平基線上由左至右依序為C、B、A三點（C最左、B居中偏左、A在最右端）；C處標有直角記號，並在C正上方畫出高9m的E點；B處也標有直角記號，在B正上方畫出高6m的D點；E、D、A三點共線（一條斜線由E經過D延伸到A）；B與A之間（水溝所在區段）另畫有數條垂直虛線延伸至基線。
圖(十)

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    找出兩個相似三角形

    由圖可知 BD‾\overline{BD} 與 CE‾\overline{CE} 都垂直於水平基線，所以 BD‾∥CE‾\overline{BD}\parallel\overline{CE}。在 △ABD\triangle ABD 與 △ACE\triangle ACE 中，∠A\angle A 是共用角，∠ABD=∠ACE=90°\angle ABD=\angle ACE=90°，由 AA 相似得 △ABD∼△ACE\triangle ABD\sim\triangle ACE。
  2. 2

    寫出對應邊比例

    對應關係是 AB‾\overline{AB} 對 AC‾\overline{AC}、BD‾\overline{BD} 對 CE‾\overline{CE}，所以 AB‾AC‾=BD‾CE‾=69=23\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CE}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}。
  3. 3

    用 AB 表示 AC

    圖中 CC、BB、AA 依序落在同一條直線上，所以 AC‾=AB‾+BC‾=AB‾+3\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AB}+3。設 AB‾=a\overline{AB}=a，則 AC‾=a+3\overline{AC}=a+3。
  4. 4

    解方程式

    代入比例式：aa+3=23\dfrac{a}{a+3}=\dfrac{2}{3}，交叉相乘得 3a=2(a+3)=2a+63a=2(a+3)=2a+6，所以 a=6a=6，即水溝寬度 AB‾=6\overline{AB}=6 公尺。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#相似三角形 #應用問題

常見卡點
最容易出錯的是比例寫反。若列成 AB‾AC‾=96\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{9}{6}，交叉相乘會變成 6a=9(a+3)6a=9(a+3)，解出 a=−9a=-9，出現負的長度就代表對應關係弄錯了。判斷方法很簡單：BD‾=6\overline{BD}=6 比 CE‾=9\overline{CE}=9 短，所以 △ABD\triangle ABD 是比較小的那一個，AB‾\overline{AB} 必定比 AC‾\overline{AC} 短，比值一定小於 11。另外別忘了 AC‾\overline{AC} 是整段，等於 AB‾+3\overline{AB}+3，不是另一條獨立的邊。

還是卡住嗎？

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