113學年鷺江國中第2次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看出對稱結構

   $\overline{PM}$、$\overline{PN}$ 都是圓 $O$ 的切線，$M$、$N$ 是切點。由切線長定理 $\overline{PM}=\overline{PN}$，又 $\overline{OM}=\overline{ON}=4$（都是半徑），所以直線 $OP$ 是整個圖形的對稱軸。
2. 2

   求圓心處的夾角

   由對稱性，$\overline{OP}$ 會把 $\angle MON$ 平分，也就是 $\angle MOP=\angle NOP=60°$，所以 $\angle MON=2\times 60°=120°$。
3. 3

   作頂角的平分線

   $\triangle OMN$ 中 $\overline{OM}=\overline{ON}=4$，是等腰三角形，頂角 $\angle MON=120°$。從 $O$ 作 $\overline{OH}\perp\overline{MN}$ 於 $H$，則 $\overline{OH}$ 同時平分頂角與底邊，$\angle MOH=60°$ 且 $H$ 是 $\overline{MN}$ 的中點。
4. 4

   算出 MN

   $\triangle OMH$ 中 $\angle OHM=90°$、$\angle MOH=60°$，是 $30°$、$60°$、$90°$ 的直角三角形，斜邊 $\overline{OM}=4$。對 $60°$ 的那一股 $\overline{MH}=4\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。所以 $\overline{MN}=2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$ 公分。故選 (B)。

關鍵觀念：#切線長定理 #等腰三角形

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