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113學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

平行弦與圓周角求角度 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十二)，AB‾\overline{AB}、CD‾\overline{CD}、AE‾\overline{AE}、CE‾\overline{CE} 為圓 OO 中的弦，其中 AB‾∥CD‾\overline{AB}\parallel\overline{CD}，若 BE^=50°\widehat{BE}=50°，∠ECD=60°\angle ECD=60°，則 ∠AEC=\angle AEC=？
(A) 35°35°
(B) 30°30°
(C) 25°25°
(D) 20°20°
圓O，上方畫出水平弦AB（A左、B右），下方畫出水平弦CD（C左、D右），兩弦互相平行；E在圓周上、位於圓的正上方（A、B之間偏上）。圖中另畫出兩條弦：A到E的短弦，以及由E往左下延伸到C的長弦CE；CE與弦AB相交於F點（F在AB上、偏A側約四成處）。圓周上五點依順時針方向的順序為E、B、D、C、A。
圖(十二)

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先看 ECD 角對的弧

    先看清楚圖：圓周上五點依順時針方向的順序是 EE、BB、DD、CC、AA，與弦 AB‾\overline{AB} 相交於 FF 的是弦 CE‾\overline{CE}。∠ECD\angle ECD 的頂點 CC 在圓上，是圓周角，它所對的弧是不含 CC 的 ED^\widehat{ED}（由 EE 經過 BB 到 DD 的那一段）。由圓周角定理，ED^=2×60°=120°\widehat{ED}=2\times 60°=120°。
  2. 2

    拆出 BD 弧

    這段弧可以拆成兩塊：ED^=EB^+BD^\widehat{ED}=\widehat{EB}+\widehat{BD}。題目已知 EB^=50°\widehat{EB}=50°，所以 BD^=120°−50°=70°\widehat{BD}=120°-50°=70°。
  3. 3

    用平行弦的性質

    AB‾∥CD‾\overline{AB}\parallel\overline{CD}，而兩條平行弦所夾的兩段弧度數相等，所以 AC^=BD^=70°\widehat{AC}=\widehat{BD}=70°。
  4. 4

    求出 AEC 角

    ∠AEC\angle AEC 的頂點 EE 在圓上，是圓周角，所對的弧是不含 EE 的 AC^\widehat{AC}。所以 ∠AEC=70°2=35°\angle AEC=\dfrac{70°}{2}=35°。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#平行弦 #圓周角

常見卡點
這題從頭到尾都要提醒自己：圓周角等於「它所對的那一段弧」的一半，而且是不含頂點的那一段。常見錯誤是把 BE^=50°\widehat{BE}=50° 直接對半，寫成 50°÷2=25°50°\div 2=25° 而選 (C)，但 ∠AEC\angle AEC 對的根本不是 BE^\widehat{BE}。正確流程是先把已知角全部換成弧的度數，在「弧」的層次上加加減減，最後再除以 22 變回角。

還是卡住嗎？

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