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113學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

中點三角形面積比 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十五)，△ABC\triangle ABC 為邊長 1616 的正三角形，若 DD、EE、FF 分別為 △ABC\triangle ABC 各邊中點，GG、HH、II 分別為 △DEF\triangle DEF 各邊中點，則 △GHI\triangle GHI 的面積為何？
(A) 636\sqrt{3}
(B) 535\sqrt{3}
(C) 434\sqrt{3}
(D) 333\sqrt{3}
圖(十五)：三角形ABC（粉紅網底），A在頂端、B左下、C右下；D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，D在左、E在右、F在下，DE、EF、FD連成內部三角形DEF；G、H、I分別為DE、DF、EF的中點（G在上、H在左下、I在右下），GH、HI、IG連成最內部三角形GHI。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    第一次取中點

    DD、EE、FF 分別是 △ABC\triangle ABC 三邊的中點。由三角形中點連線性質，每一條中點連線都等於對應邊的一半。△ABC\triangle ABC 是邊長 1616 的正三角形，所以 △DEF\triangle DEF 也是正三角形，邊長為 16÷2=816\div 2=8。
  2. 2

    第二次取中點

    同樣的道理，GG、HH、II 分別是 △DEF\triangle DEF 三邊的中點，所以 △GHI\triangle GHI 也是正三角形，邊長為 8÷2=48\div 2=4。
  3. 3

    正三角形面積公式

    邊長為 aa 的正三角形，高是 32a\dfrac{\sqrt{3}}{2}a，所以面積 =12×a×32a=34a2=\dfrac{1}{2}\times a\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2。
  4. 4

    代入求面積

    把 a=4a=4 代入：△GHI\triangle GHI 的面積 =34×42=34×16=43=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 4^2=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 16=4\sqrt{3}。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#中點連線 #面積比 #正三角形

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常見卡點
這題最常見的錯是「只取一次中點就停手」。若只做到 △DEF\triangle DEF（邊長 88），面積是 34×64=163\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 64=16\sqrt{3}，這個值並不在選項裡——發現答案對不上時，正好提醒自己題目要的是連取兩次中點的 △GHI\triangle GHI。也可以改用面積比檢查：邊長縮一半面積就縮成 14\dfrac{1}{4}，兩次就是 116\dfrac{1}{16}；△ABC\triangle ABC 面積 34×256=643\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 256=64\sqrt{3}，除以 1616 正好是 434\sqrt{3}。

還是卡住嗎？

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