113學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看出是正三角形

   三個人兩兩之間的距離都是 $30$ 公尺，而且三人不在同一直線上，所以三人的位置構成一個邊長 $30$ 公尺的正三角形。
2. 2

   等距的點就是外心

   牧潔姐姐與三人同時等距，也就是她到三角形三個頂點的距離相等。到三頂點等距的點是三角形的外心，這段距離就是外接圓的半徑 $R$。
3. 3

   先求正三角形的高

   正三角形的高會把它切成兩個 $30°$、$60°$、$90°$ 的直角三角形，斜邊是邊長 $30$、短股是半邊 $15$。所以高 $h=\sqrt{30^2-15^2}=\sqrt{900-225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}$ 公尺。
4. 4

   外心在高上的位置

   正三角形的外心和重心重合，落在高（同時也是中線）上，並把中線分成 $2:1$，靠頂點的那一段佔 $\dfrac{2}{3}$。所以 $R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2}{3}\times 15\sqrt{3}=10\sqrt{3}$ 公尺。故選 (C)。

關鍵觀念：#外心 #等距應用

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