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113學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

正方形與弧形面積計算 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十六)，四邊形 ABCDABCD 為正方形，邊長為 88 公分，若分別以 AA、CC 為圓心，邊長為半徑畫弧，則黑色部分面積為何？
(A) 16π−3216\pi-32
(B) 16π−6416\pi-64
(C) 32π−3232\pi-32
(D) 32π−6432\pi-64
正方形ABCD：A在左上、D在右上、B在左下、C在右下；分別以A、C為圓心、以邊長為半徑畫弧，兩弧在正方形內相交，形成一個由左下到右上走向的黑色葉形（雙弧交疊）區域。
圖(十六)

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    看懂兩條弧

    正方形 ABCDABCD 中，AA 在左上、BB 在左下、CC 在右下、DD 在右上，邊長 88。以 AA 為圓心、88 為半徑畫弧，因為 AB‾=AD‾=8\overline{AB}=\overline{AD}=8，這條弧從 BB 畫到 DD；以 CC 為圓心、88 為半徑畫弧，因為 CB‾=CD‾=8\overline{CB}=\overline{CD}=8，同樣從 BB 畫到 DD。黑色葉形就是這兩塊區域重疊的部分。
  2. 2

    算一個四分之一圓

    以 AA 為圓心的扇形，圓心角是正方形的內角 90°90°、半徑 88，面積 =π×82×90360=64π×14=16π=\pi\times 8^2\times\dfrac{90}{360}=64\pi\times\dfrac{1}{4}=16\pi。以 CC 為圓心的扇形面積也同樣是 16π16\pi。
  3. 3

    用重疊關係列關係式

    這兩個扇形合起來剛好蓋滿整個正方形，而中間的黑色葉形被蓋了兩次。所以「兩個扇形面積的和 == 正方形面積 ++ 葉形面積」。
  4. 4

    解出葉形面積

    設葉形面積為 SS，則 16π+16π=8×8+S16\pi+16\pi=8\times 8+S，即 32π=64+S32\pi=64+S，所以 S=32π−64S=32\pi-64。故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#扇形面積 #正方形

常見卡點
最常見的錯是只算了一半。葉形其實是由兩個相同的弓形拼成的，一個弓形 == 扇形 −- 三角形 =16π−12×8×8=16π−32=16\pi-\dfrac{1}{2}\times 8\times 8=16\pi-32，這正是選項 (A)，忘了乘 22 就會選到它。另外 (B) 的 16π−6416\pi-64 是拿一個扇形去減掉整個正方形，而 16π16\pi 大約是 50.350.3，比 6464 還小，會得到負的面積，一看就不合理。把「重疊區被算了兩次」這個關係記熟，列式才會乾淨。

還是卡住嗎？

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