113學年鷺江國中第2次段考數學 第24題 詳解

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先補一條高

   $\angle B=135°$ 是鈍角，從 $A$ 向底邊所在直線作高時，垂足會落在 $\overline{CB}$ 的延長線上（在三角形外面）。設垂足為 $H$，則 $B$ 落在 $C$ 與 $H$ 之間，且 $\overline{AH}\perp\overline{CH}$。
2. 2

   用補角算出高

   $\angle ABH$ 與 $\angle ABC$ 互為補角：$\angle ABH=180°-135°=45°$。所以 $\triangle ABH$ 是 $45°$、$45°$、$90°$ 的等腰直角三角形，斜邊 $\overline{AB}=4\sqrt{2}$，兩股 $\overline{AH}=\overline{BH}=\dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4$。
3. 3

   用 30 度角求 CH

   在 $\triangle ACH$ 中，$\angle C=30°$、$\angle AHC=90°$，是 $30°$、$60°$、$90°$ 的直角三角形。$\overline{AH}=4$ 是對 $30°$ 的短股，對 $60°$ 的那一股 $\overline{CH}=4\sqrt{3}$。
4. 4

   求出底邊 BC

   因為 $B$ 落在 $C$ 與 $H$ 之間，所以 $\overline{BC}=\overline{CH}-\overline{BH}=4\sqrt{3}-4$。
5. 5

   算三角形面積

   以 $\overline{BC}$ 為底、$\overline{AH}$ 為高：面積 $=\dfrac{1}{2}\times(4\sqrt{3}-4)\times 4=2\times(4\sqrt{3}-4)=8\sqrt{3}-8$。故選 (A)。

關鍵觀念：#三角形面積 #外角