113學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   連半徑造出直角

   $\overline{AB}$ 切圓 $O$ 於 $B$ 點，把半徑 $\overline{OB}$ 連出來。由切線性質，$\overline{OB}\perp\overline{AB}$，所以 $\triangle ABO$ 是直角三角形，直角在 $B$。
2. 2

   把 AO 用半徑表示

   設圓 $O$ 的半徑為 $r$，則 $\overline{OB}=r$、$\overline{OC}=r$。因為 $C$ 在 $\overline{AO}$ 上而且在圓上，所以 $\overline{AO}=\overline{AC}+\overline{CO}=8+r$。
3. 3

   列畢氏定理方程式

   在 $\triangle ABO$ 中，$\overline{AO}$ 對著直角，是斜邊：$\overline{AB}^2+\overline{OB}^2=\overline{AO}^2$，代入得 $12^2+r^2=(8+r)^2$。
4. 4

   解出半徑

   把右邊展開：$144+r^2=64+16r+r^2$。兩邊同時消去 $r^2$，得 $144=64+16r$，所以 $16r=80$，$r=5$。
5. 5

   算圓的面積

   圓 $O$ 的面積 $=\pi r^2=\pi\times 5^2=25\pi$。故選 (C)。

關鍵觀念：#切線長定理 #圓面積

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