109學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   四個角都扣著同一條弦

   看圖：$\angle1$ 的頂點 $D$ 在圓內，兩邊分別通過 $A$ 與 $B$；$\angle2$ 的頂點 $C$ 在圓上，就是 $\angle ACB$；$\angle3$ 的頂點 $E$ 在圓外，兩邊也分別通過 $A$ 與 $B$；$\angle4$ 則是切線 $L$ 與弦 $\overline{BA}$ 在 $B$ 點所夾的角。四個角都扣著同一條弦 $\overline{AB}$，可以放在一起比。
2. 2

   先把圓上的兩個角當基準

   設弦 $\overline{AB}$ 所對、不含 $C$ 的那段弧為 $\widehat{AB}$。圓周角 $\angle2=\dfrac{1}{2}\widehat{AB}$；弦切角 $\angle4$ 也等於它所夾弧的一半，同樣是 $\dfrac{1}{2}\widehat{AB}$。所以 $\angle2=\angle4$，拿它當比較的基準。
3. 3

   圓內角一定比基準大

   頂點落在圓內的 $\angle1$ 是兩條弦相交所成的角，大小等於「它所對的弧」加上「它的對頂角所對的弧」再除以 $2$。因為多加了一段度數為正的弧，所以 $\angle1>\dfrac{1}{2}\widehat{AB}=\angle2$。
4. 4

   圓外角一定比基準小

   頂點落在圓外的 $\angle3$ 是兩條割線所成的角，大小等於「遠的那段弧」減去「近的那段弧」再除以 $2$。遠弧正是 $\widehat{AB}$，而被減掉的近弧度數為正，所以 $\angle3<\dfrac{1}{2}\widehat{AB}=\angle2$。
5. 5

   排出大小下結論

   綜合起來得到 $\angle1>\angle2=\angle4>\angle3$，四個角裡最小的是 $\angle3$。故選 (C)。

關鍵觀念：#圓周角 #切線弦角 #圓內角 #圓外角

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