111學年鷺江國中第2次段考數學 第1題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先確認點在哪裡

   切線能畫幾條，完全由「這個點和圓的位置關係」決定，所以第一件事是把題目的條件圈起來：題目寫的是圓外一點。點與圓只有三種位置關係：在圓內、在圓上、在圓外，三種情形的答案各不相同，位置讀錯就等於整題做錯。
2. 2

   圓外一點畫得出兩條

   設圓心為 $O$、圓外一點為 $P$。切點 $T$ 必須滿足「半徑垂直切線」，也就是 $\angle OTP=90^\circ$。以 $\overline{OP}$ 為直徑畫一個圓，這個圓上每一點看 $\overline{OP}$ 都是直角，它和原來的圓恰好交在兩個點，這兩點就是切點。所以切線恰好 $2$ 條，而且兩條對於直線 $OP$ 左右對稱。
3. 3

   另外兩種位置對照

   如果 $P$ 在圓上，過 $P$ 只能畫出 $1$ 條切線，就是垂直於半徑 $\overline{OP}$ 的那一條；如果 $P$ 在圓內，任何通過 $P$ 的直線都會穿過圓、和圓交在兩點，所以 $0$ 條。把三種情形排在一起，答案正好是 $0$、$1$、$2$ 這一組。
4. 4

   排除無限多條

   過 $P$ 的直線確實有無限多條，但其中大多數不是穿過圓、交在兩點，就是完全碰不到圓、交在零點，真正只碰圓一次的只有那 $2$ 條。把「過一點的直線有無限多條」和「切線有幾條」混在一起，就會誤選無限多。最多可以做出 $2$ 條，故選 (C)。

關鍵觀念：#圓的切線

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