111學年鷺江國中第2次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先分清楚度數與長度

   圓的弧有兩個完全不同的量：一個是「度數」，一個是「長度」。弧的度數規定為它所對的圓心角的度數，所以 $\widehat{AB}$ 的度數就是 $\angle AOB$ 的度數；弧的長度則要用半徑算，公式是 $2\pi r\times\dfrac{x}{360}$。題目給的是半徑 $r$ 與圓心角 $x^\circ$，四個選項就是在測驗這兩件事有沒有分清楚。
2. 2

   檢查前兩個選項

   由定義，$\widehat{AB}$ 的度數等於所對圓心角 $\angle AOB$ 的度數，而圖上標的 $\angle AOB=x^\circ$，所以 $\widehat{AB}=x^\circ$，(A) 正確。至於 (B)，它把 $\angle AOB$ 說成 $2x^\circ$，但 $\angle AOB$ 本身就是那個 $x^\circ$ 的角，沒有要乘 $2$。會乘 $2$ 的是「圓心角等於同弧圓周角的兩倍」，那是圓周角的性質，跟這裡無關。
3. 3

   後兩個選項剛好對調

   扇形的兩個公式要記牢：弧長 $=2\pi r\times\dfrac{x}{360}$，扇形面積 $=\pi r^2\times\dfrac{x}{360}$。(C) 寫的是 $\widehat{AB}=r^2\pi\times\dfrac{x}{360}$，右邊其實是扇形的面積，不是弧長；(D) 寫的是扇形面積 $=2\pi r\times\dfrac{x}{360}$，右邊其實是弧長。這兩個選項正好把兩個公式互換位置，所以都錯。
4. 4

   用單位再確認一次

   還有一個快速檢查法：長度的單位是一次方，面積的單位是二次方。(C) 左邊 $\widehat{AB}$ 若當成長度看，右邊卻含 $r^2$，次方對不上；(D) 左邊是面積，右邊只含 $r$ 的一次方，次方也對不上。而 (A) 兩邊都是角度，完全相符。故選 (A)。

關鍵觀念：#弧長 #圓心角 #扇形面積

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