109學年鷺江國中第2次段考數學 第22題 詳解

逐步解析

1. 1

   從切線得到直角

   切線垂直於過切點的半徑，所以 $\angle OMP=90^\circ$。在直角三角形 $OMP$ 中，已知 $\angle MOP=60^\circ$。
2. 2

   由對稱求出整個圓心角

   從圓外一點 $P$ 作的兩條切線對 $\overline{OP}$ 對稱，因此 $\angle NOP=\angle MOP=60^\circ$，得 $\angle MON=60^\circ+60^\circ=120^\circ$。
3. 3

   在等腰三角形裡作高

   $\overline{OM}=\overline{ON}=10$，所以 $\triangle OMN$ 是等腰三角形。由 $O$ 向 $\overline{MN}$ 作垂線，垂足為 $H$，則 $H$ 是 $\overline{MN}$ 的中點，且 $\angle MOH=60^\circ$、$\angle OMH=30^\circ$。
4. 4

   算出 MN

   在直角三角形 $OMH$ 中，$30^\circ$ 角所對的邊是斜邊的一半，所以 $\overline{OH}=5$；再由畢氏定理得 $\overline{MH}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。因此 $\overline{MN}=2\times5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$ 公分。

關鍵觀念：#切線長 #等腰三角形

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