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109學年鷺江國中第2次段考數學 第21題 詳解

正五邊形內接圓求弧長（如圖） · 填充 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案8π8\pi看逐步解析 ↓

題目
如右圖，若正五邊形ABCDE的頂點皆在半徑為10的圓O上，求AC^\widehat{AC}的長度為_______。
正五邊形ABCDE的五個頂點都在圓O上（A在最上方，B、C、D、E依序沿圓周排列，B在左上、C在左下、D在右下、E在右上）。圖中畫有兩條半徑OA、OC（藍色線段），五邊形內部以淡黃色標示。
右圖

逐步解析

  1. 1

    先算一段邊所對的圓心角

    正五邊形 ABCDEABCDE 的五個頂點把圓 OO 分成五段相等的弧，每一段所對的圓心角是 360∘5=72∘\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ。
  2. 2

    看 AC 這段弧佔幾份

    從 AA 沿著 BB 走到 CC，會經過 AB^\widehat{AB} 與 BC^\widehat{BC} 兩段，所以 AC^\widehat{AC} 所對的圓心角是 72∘×2=144∘72^\circ\times2=144^\circ。
  3. 3

    用比例算弧長

    圓的半徑為 1010，圓周長為 2π×10=20π2\pi\times10=20\pi。弧長佔圓周長的比例，等於圓心角佔 360∘360^\circ 的比例：20π×144360=20π×25=8π20\pi\times\dfrac{144}{360}=20\pi\times\dfrac{2}{5}=8\pi。所以 AC^\widehat{AC} 的長度為 8π8\pi。
答案
8π8\pi

關鍵觀念：#正多邊形 #弧長 #圓心角

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常見卡點
最常見的錯是把 AC^\widehat{AC} 只當成一段弧，用 72∘72^\circ 去算而得到 4π4\pi，漏掉中間還隔著一個 BB。反過來，若走另一邊經過 EE、DD 的那條路，會變成 216∘216^\circ、弧長 12π12\pi，而 AC^\widehat{AC} 習慣上指較短的那一段，也就是經過 BB 的 144∘144^\circ 劣弧。另一個坑是把弧長和扇形面積的公式弄混，用 π×102×144360\pi\times10^2\times\dfrac{144}{360} 算成 40π40\pi。

還是卡住嗎？

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